- •Методические рекомендации
- •Введение
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство.
- •1.1. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§2. Проективные координаты.
- •2.1. Проективные координаты на проективной прямой.
- •2.2. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •2.3. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •2.4. Связь между проективными координатами на плоскости и на прямой.
- •2.5. Однородные аффинные координаты на плоскости, как частный случай проективных координат.
- •2.6. Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •2.7. Уравнение прямой на плоскости.
- •2.8. Теорема Дезарга.
- •Вопросы и упражнения.
- •§3. Проективные преобразования плоскости.
- •3.1. Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •3.3. Основное свойство проективных преобразований.
- •3.4. Гомология.
- •3.5. Проективная группа плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§4. Сложное отношение.
- •4 .1. Определения и свойства.
- •4.2. Формулы сложных отношений.
- •4.3. Гармоническая четверка точек.
- •Вопросы и упражнения.
- •§5. Кривые второго порядка.
- •5.1. Определение и типы кривых второго порядка.
- •5.2. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •5.4. Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •5.6. Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •5.8. Теоремы Паскаля и Брианшона.
- •Вопросы и упражнения.
- •Литература.
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство. 4
- •§2. Проективные координаты. 11
- •§3. Проективные преобразования плоскости. 24
- •§4. Сложное отношение. 29
- •§5. Кривые второго порядка. 36
- •Учебное издание
- •Проективная геометрия
- •210038, Г.Витебск, Московский проспект, 33.
§3. Проективные преобразования плоскости.
3.1. Определение проективного преобразования.
Опр.3.1.1. Пусть (; ¯ и (; ¯ – две проективные плоскости, R – проективный репер в (; ¯, R – в (; ¯. Проективным отображением (; ¯ на (; ¯ назы-вается отображение, действующее по правилу: точка M(; ¯ c координатами (x1, x2, x3) в репере R переходит в точку M (; ¯ с теми же координатами в репере R .
Отсюда, в частности, вытекает, что A1 переходит в A1 , A2 – в A2 , A3 – в A3 , E – в E, т.е R переходит в R .
Можно показать, что проективным отображением будет перспективное отображение (; ¯ на (; ¯, которое возникает при центральном проецировании (; ¯ на (; ¯, а также любая композиция перспективных отображений плоскости на плоскость.
Опр.3.1.2. Проективным преобразованием плоскости (; ¯ называется проективное отображение (; ¯ на себя. Оно задается двумя реперами R и R в плоскости (; ¯ .
Движение, подобие и аффинное преобразование плоскости (; ¯ являются частными случаями проективных преобразований.
3.2. Формулы проективного преобразования.
Пусть f : (; ¯ (; ¯ – проективное преобразование, которое задается двумя реперами R и R , а С – матрица перехода от первого репера ко второму. Пусть M = f(M). Найдем связь между координатами M и M в одном репере, например, в R . Пусть M(x1, x2, x3)R , тогда M имеет такие же координаты, только относительно R . Пусть M (x1, x2 , x3 )R . Мы видим, что задача сводится к нахождению связи между координатами одной и той же точки M в разных реперах R и R , а эта связь задается формулами (2.6.1). Значит,
xi = (;\s\do10(k =1cik xk , i = 1, 2, 3. (3.2.1)
Еще раз подчеркнем, что здесь xk – это координаты точки до преобразования, а xi – координаты образа этой точки.
Замечание. Проективное преобразование точек прямой определяется аналогично, т.е. с помощью двух реперов R = {A1, A2, E}, R = {A1 , A2 , E} на этой прямой и состоит в том, что точка M(x1: x2)R переходит в M ( x1: x2)R . Формулы преобразования имеют вид (3.2.1), где i, k = 1, 2.
Формулы проективных преобразований записываются в матричном виде: X= CX. И каждому проективному преобразованию соответствует своя невырожденная матрица C.
3.3. Основное свойство проективных преобразований.
Теорема 3.3.1. При проективном преобразовании плоскости прямая переходит в прямую.
Пусть преобразование задано реперами R и R , а прямая a; ¯ имеет уравнение относительно R : u1x1+ u2x2 + u3x3 = 0. Образ этой прямой будет удовлетворять такому же уравнению относительно R , а значит, это тоже будет прямая.
3.4. Гомология.
Опр. 3.4.1. Гомологией называется нетождественное проективное преобразование плоскости, имеющее точечно неподвижную (инвариант-ную) прямую, называемую осью гомологии.
Свойства гомологии.
1. Прямая, проходящая через две несовпадающие соответственные точки,
преобразуется в себя (является неподвижной).
2. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные точки (не
принадлежащие одной прямой), проходят через одну неподвижную
(инвариантную) точку, называемую центром гомологии.
3. Прямая, не проходящая через центр гомологии, и ее образ пересекаются
на оси гомологии.
Доказательство этих свойств можно найти в [1].
Опр. 3.4.1. Гомология, центр которой не принадлежит оси, называется гиперболической. Гомология, центр которой принадлежит оси, называется параболической.
Гомология задается осью s, центром S и парой соответственных точек, лежащих на прямой, проходящей через центр. Обозначим такую гомологию (S, s; A, A).
Соответственные при гомологии фигуры называются гомологичными. Примерами таких фигур являются трехвершинники из теоремы Дезарга. Фактически, теоремой Дезарга доказывается существование гомологии. Pисунок, 2.1, сопровождающий эту теорему, демонстрирует пример построения соответственных точек при гомологии (S, s; A, A) , когда S – собственная точка.
Построение соответственных точек (фигур).
Пусть (S, s; A, A) – гомология, M – произвольная не двойная точка.
Найдем ее образ M= (M). Для этого последовательно проводим прямые 1) SM; 2) AM, AM s = P (=P); 3) PA M= AM PA.
На рис. 3.1 – гиперболическая, на рис. 3.2 – параболическая.
На расширенной плоскости выделяются частные виды гомологии.
1. Перспективно-аффиное (родственное) преобразование. Это гомология с несобственным центром. Среди них имеются
а) отражения со сжатием (или растяжением) к оси;
б) отражения – осевые симметрии (косая симметрия, симметрия);
в) сжатия к оси (либо растяжения);
г) параллельные переносы – ( S , s , A, A);
д) сдвиги (перекосы) – ( S , s, (S s), A, A).
2. Гомотетия – ( S, s , A, A); в частности это может быть центральная симметрия.
Упражнение. Самостоятельно выполните построение соответственных треугольников (фигур) в перечисленных видах 1 а) – д), 2 гомологий. Сделайте описание построения.
S
2.