- •Методические рекомендации
- •Введение
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство.
- •1.1. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§2. Проективные координаты.
- •2.1. Проективные координаты на проективной прямой.
- •2.2. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •2.3. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •2.4. Связь между проективными координатами на плоскости и на прямой.
- •2.5. Однородные аффинные координаты на плоскости, как частный случай проективных координат.
- •2.6. Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •2.7. Уравнение прямой на плоскости.
- •2.8. Теорема Дезарга.
- •Вопросы и упражнения.
- •§3. Проективные преобразования плоскости.
- •3.1. Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •3.3. Основное свойство проективных преобразований.
- •3.4. Гомология.
- •3.5. Проективная группа плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§4. Сложное отношение.
- •4 .1. Определения и свойства.
- •4.2. Формулы сложных отношений.
- •4.3. Гармоническая четверка точек.
- •Вопросы и упражнения.
- •§5. Кривые второго порядка.
- •5.1. Определение и типы кривых второго порядка.
- •5.2. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •5.4. Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •5.6. Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •5.8. Теоремы Паскаля и Брианшона.
- •Вопросы и упражнения.
- •Литература.
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство. 4
- •§2. Проективные координаты. 11
- •§3. Проективные преобразования плоскости. 24
- •§4. Сложное отношение. 29
- •§5. Кривые второго порядка. 36
- •Учебное издание
- •Проективная геометрия
- •210038, Г.Витебск, Московский проспект, 33.
1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства.
Многие свойства принадлежности точек, прямых и плоскостей обычного евклидова пространства остаются и у расширенного пространства.
Например.
1 . Через две различные точки проходит, и притом, единственная прямая.
2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку.
3. Если две различные прямые и меют общую точку, то через них можно провести плоскость, и при этом, только одну.
4 . Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом, только одну.
5 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
6. Через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести плоскость и, притом, только одну.
Для доказательства, например, свойства 1 необходимо рассмотреть 3 возможных случая: а) данные точки собственные; б) одна точка собствен-ная, а вторая – несобственная; в) обе точки несобственные.
В случае а) имеем совпадение с аналогичным свойством в обычном пространстве. В случае б) искомая прямая проходит через собственную точку параллельно прямой, которая задает несобственную точку. В случае в) искомая прямая – несобственная, которая задается плоскостью, проходящей через те прямые, которые задают данные несобственные точки или любой параллельной ей плоскостью.
Однако принадлежность точек, прямых и плоскостей в расширенном пространстве обладает и некоторыми новыми свойствами. Например:
7. Любые две различные прямые, лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и, притом, только одну.
8. Любая плоскость и прямая, которая не лежит в этой плоскости, имеют общую точку и, притом, только одну.
9 . Любые две различные плоскости имеют общую прямую и, притом, только одну.
Д
а)
а
б)
б
в)
в) плоскость несобственная, а прямая собственная; в обоих случаях б) и в) общей является несобственная точка прямой.
г
г)
Случай, когда плоскость и прямая несобственные, не удовлетворяет условию, так как прямая принадлежит плоскости.
Нетрудно заметить, что собственные и несобственные точки в проективном пространстве равноправны: все их свойства одинаковы, а при центральном проецировании собственная точка может перейти в несобственную, и наоборот. В том же смысле равноправны параллельные и пересекающиеся прямые в проективном пространстве.
1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости.
Легко заметить, что свойства принадлежности на проективной плоскости обладают своеобразной симметрией. Например, свойства 1 и 7. Для того, чтобы эта симметрия стала более заметной, удобно ввести понятие инцидентности. Вместо выражения «точка принадлежит прямой» будем говорить «точка инцидентна прямой», а вместо «прямая проходит через точку» – «прямая инцидентна точке». Тогда свойства 1 и 7 можно переформулировать так:
1. Любые две различные точки инцидентны одной прямой и, притом, единственной.
7. Любые две различные прямые инцидентны одной точке и, притом, единственной.
Такая же симметрия наблюдается и относительно других свойств. Таким образом, имеет место следующий принцип двойственности.
Каждому утверждению на проективной плоскости относительно точек и прямых соответствует второе утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» на слово «прямая», а слова «прямая» на слово «точка». Второе утверждение называется двойственным первому и, если истинно первое утверждение, то и истинно и двойственное ему.
В соответствии с этим принципом каждой фигуре также соответствует двойственная фигура. Примеры:
1. фигуре «прямая и три точки на ней» соответствует фигура «точка и три прямые, проходящие через нее»;
2 . фигуре «три точки, не лежащие на одной прямой, и три прямые, которые проходят через эти точки» (она называется трехвершинником) соответствует двойственная
ей фигура «три прямые, не проходящие через одну точку, и три точки их пересечения» (она называется трехсторонником). Ясно, что это одна и та же фигура.
Замечание. В проективном пространстве выполняется аналогичный принцип – «большой принцип двойственности». В любом утверждении относительно точек, прямых и плоскостей в проективном пространстве можно слово «плоскость» заменить на слово «точка», и наоборот. Утверждение останется истинным (принцип двойственности на плоскости называется малым).