- •Методические рекомендации
- •Введение
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство.
- •1.1. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§2. Проективные координаты.
- •2.1. Проективные координаты на проективной прямой.
- •2.2. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •2.3. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •2.4. Связь между проективными координатами на плоскости и на прямой.
- •2.5. Однородные аффинные координаты на плоскости, как частный случай проективных координат.
- •2.6. Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •2.7. Уравнение прямой на плоскости.
- •2.8. Теорема Дезарга.
- •Вопросы и упражнения.
- •§3. Проективные преобразования плоскости.
- •3.1. Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •3.3. Основное свойство проективных преобразований.
- •3.4. Гомология.
- •3.5. Проективная группа плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§4. Сложное отношение.
- •4 .1. Определения и свойства.
- •4.2. Формулы сложных отношений.
- •4.3. Гармоническая четверка точек.
- •Вопросы и упражнения.
- •§5. Кривые второго порядка.
- •5.1. Определение и типы кривых второго порядка.
- •5.2. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •5.4. Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •5.6. Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •5.8. Теоремы Паскаля и Брианшона.
- •Вопросы и упражнения.
- •Литература.
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство. 4
- •§2. Проективные координаты. 11
- •§3. Проективные преобразования плоскости. 24
- •§4. Сложное отношение. 29
- •§5. Кривые второго порядка. 36
- •Учебное издание
- •Проективная геометрия
- •210038, Г.Витебск, Московский проспект, 33.
2.6. Формулы замены проективных координат на плоскости.
Рассмотрим на плоскости (; ¯ два проективных репера R = {A1, A2, A3, E} и R = {A1 , A2 , A3 , E}. Пусть M(; ¯ – произвольная точка, и M(x1, x2, x3)R , M(x1, x2 , x3 )R . Будем писать коротко: M(xi )R , M(xi )R . Согласно определению 2.3.4., xi – это координаты некоторого вектора x;\s\up8(( на прямой OM в некотором базисе B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( }, а xi – это координаты некоторого вектора x(;\s\up8(( на той же прямой OM в другом базисе B ={a1(;\s\up8(( , a2(;\s\up8(( , a3(;\s\up8(( }. Поскольку векторы x;\s\up8(( и x(;\s\up8(( должны быть коллинеарны, то x(;\s\up8(( = x;\s\up8(( и x(;\s\up8(( (xi)B .
Разложим векторы базиса B по базису B : ai(;\s\up8(–( =(;\s\do10(k=1ckiak;\s\up8(–( . Тогда матрица C = [cik], i, k = 1, 2, 3 называется матрицей перехода от базиса B к базису B . Как известно, det C 0 и координаты xi и xi вектора x(;\s\up8(( в различных базисах связаны формулами:
xi = (;\s\do10(k =1cik xk . (2.6.1)
эти же формулы показывают связь проективных координат xi и xi одной и той же точки в разных реперах на плоскости. В частности, поскольку в репере R A1 (1, 0, 0), A2 (0,1, 0), A3 (0, 0, 1), E(1, 1, 1), то в репере R :
A1 (c11, c21, c31), A2 (c12, c22, c32), A3 (c13, c23, c33),
E(c11+c12+c13, c21+c22+c23, c31+c32+c33).
Замечание 1. Формулы (2.6.1) имеют место и для преобразования координат точек на прямой, при условии, что индексы i, k принимают значения 1, 2.
Замечание 2. Если обозначить X и X – столбцы составленные из координат векторов x;\s\up8(–( и x(;\s\up8(–( , то формулы (2.6.1) можно переписать в виде одного матричного равенства: X = CX (2.6.1).
2.7. Уравнение прямой на плоскости.
Пусть на проективной плоскости даны две точки A и B, имеющие в проективном репере R координаты A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3). Требуется составить уравнение прямой AB.
П усть M – произвольная точка прямой AB . Ее координаты совпадают с координатами вектора x;\s\up8(( на прямой OM. Координаты точек A и B также совпадают с координатами некоторых векторов a;\s\up8(–( и b;\s\up9(–( на прямых OA и OB. Значит, векторы x;\s\up8((, a;\s\up8(( и
b;\s\up9(( компланарны. И обратно, если x;\s\up8(( компланарен a;\s\up8(( и b;\s\up9((, то M l . Поэтому M AB
x1 x2 x3
a1 a2 a3 = 0, (2.7.1)
b1 b2 b3
Это и есть уравнение прямой AB.
После раскрытия определителя получим уравнение вида
u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0. (2.7.2)
Числа u1, u2, u3 называются координатами прямой. Кроме того, условие коллинеарности векторов x;\s\up8((, a;\s\up8((, b;\s\up9(( можно записать так: x;\s\up8(( = a;\s\up8(( + b;\s\up9((
x1 = a1 + b1,
x2 = a2 + b2, (2.7.3)
x3 = a3 + b3,
где , R – произвольные параметры (2 + 2 0). Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
Следствие. Три точки A(a1, a2, a3), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют , R такие, что
c1 = a1 + b1,
c2 = a2 + b2, (2.7.3)
c3 = a3 + b3.