- •Методические рекомендации
- •Введение
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство.
- •1.1. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§2. Проективные координаты.
- •2.1. Проективные координаты на проективной прямой.
- •2.2. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •2.3. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •2.4. Связь между проективными координатами на плоскости и на прямой.
- •2.5. Однородные аффинные координаты на плоскости, как частный случай проективных координат.
- •2.6. Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •2.7. Уравнение прямой на плоскости.
- •2.8. Теорема Дезарга.
- •Вопросы и упражнения.
- •§3. Проективные преобразования плоскости.
- •3.1. Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •3.3. Основное свойство проективных преобразований.
- •3.4. Гомология.
- •3.5. Проективная группа плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§4. Сложное отношение.
- •4 .1. Определения и свойства.
- •4.2. Формулы сложных отношений.
- •4.3. Гармоническая четверка точек.
- •Вопросы и упражнения.
- •§5. Кривые второго порядка.
- •5.1. Определение и типы кривых второго порядка.
- •5.2. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •5.4. Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •5.6. Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •5.8. Теоремы Паскаля и Брианшона.
- •Вопросы и упражнения.
- •Литература.
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство. 4
- •§2. Проективные координаты. 11
- •§3. Проективные преобразования плоскости. 24
- •§4. Сложное отношение. 29
- •§5. Кривые второго порядка. 36
- •Учебное издание
- •Проективная геометрия
- •210038, Г.Витебск, Московский проспект, 33.
Вопросы и упражнения.
1. Что такое несобственные точки и для чего они нужны?
2. Что такое несобственная прямая, несобственная плоскость?
3. Что такое проективная прямая, плоскость, пространство?
4. Задать и обозначить 4 несобственных точки. Можно ли эти же точки задать другим образом?
5. Доказать свойства 1 – 9 (пo 1.3).
6. Что понимается под равноправностью собственных и несобственных точек или параллельных и пересекающихся прямых в расширенном пространстве?
7. Переформулируйте свойства 1-9 (пo 1.3), пользуясь термином «инцидентны».
8. Сформулируйте утверждения двойственные свойствам 1-9 согласно малому и большому принципу двойственности, и проверьте, верны ли они.
9. Какие свойства из 1-9 двойственны друг другу?
10. Что такое трехвершинник? Какая фигура ему двойственна?
11. Какие фигуры будут двойственны следующим фигурам:
а) прямая и все точки на ней;
б) две прямые и точка, которая им не принадлежит (рассмотреть различные случаи: прямые в одной плоскости или нет, точка в той же плоскости или нет;
в) четыре точки и все прямые, которые проходят через две из них (рассмотреть различные случаи: все точки лежат на одной прямой, три точки лежат на одной прямой или никакие три из этих точек не лежат на одной прямой).
§2. Проективные координаты.
2.1. Проективные координаты на проективной прямой.
Опр.2.1.1. Проективной системой координат (проективным репером) на проективной прямой a; ¯ называется произвольная упорядоченная тройка точек этой прямой.
Проективный репер обычно обозначается буквой R , а точки, из которых он состоит – A1, A2 , E . Причем E называется единичной точкой репера. В дальнейшем проективный репер часто будем называть просто репером.
П усть Oa; ¯ – произвольная точка, а (; ¯ – плоскость, которая проходит через O и a; ¯. Будем все векторы в плоскости , откладывать из точки O.
Опр. 2.1.2. Говорим, что вектор x;\s\up8(( порождает точку M на прямой a; ¯ , если x;\s\up8(( лежит на прямой OM.
Будем обозначать так: x;\s\up8(( ((;\s\up8(( M , или ( x;\s\up8(( ) = M. Очевидно, что
R \{0} ( x;\s\up8(( ) = (x;\s\up8(( ). (2.1)
Опр.2.1.3. Говорим, что базис B = {a1;\s\up8(–( , a2;\s\up8(–( } в плоскости (; ¯ порождает репер R = {A1, A2, E} , если ( a1;\s\up8(( ) = A1 , ( a2;\s\up8(( ) = A2 , ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(( ) = E . Пишем: (B ) = R .
Т еорема 2.1.1. Для любого репера R на прямой a; ¯ существует единственный с точностью до гомотетии с центром O базис B, который порождает репер R .
Пусть R = {A1, A2, E} – репер на a; ¯ , Oa; ¯ . Возьмем произвольный вектор e;\s\up8(–( на прямой OE и разложим его на составляющие, лежащие на прямых OA1 и OA2: e;\s\up8(( = a1;\s\up8(–( + a2;\s\up8(( . Базис B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( } – искомый. Очевидно, подойдет и базис {a1;\s\up8(( ,a2;\s\up8(( }, 0.
Опр. 2.1.4. Пусть базис B порождает репер R , а вектор x;\s\up8(( – точку M. Проективными координатами точки M на прямой a; ¯ в репере R называются координаты вектора x;\s\up8(–( относительно базиса B .
Из (2.1) и теоремы 2.1.1 вытекает, что эти координаты определяются с точностью до пропорциональности, т.е. данная точка в данном репере имеет не одну пару координат (x1, x2), а множество пар, пропорциональных друг другу. Поэтому проективные координаты точки часто записывают так: M(x1: x2).
Таким образом, для того, чтобы найти координаты (x1, x2) точки Ma; ¯ в репере R , необходимо:
1. выбрать собственную точку Oa; ¯;
2. выбрать базис B , который порождает R ;
3. выбрать вектор x;\s\up8(( на прямой OM ;
4. найти координаты (x1, x2) этого вектора в базисе B (они и будут
проективными координатами точки M, т.е. M(x1: x2)).
В частности, поскольку ( a1;\s\up8(( ) = A1 , ( a2;\s\up8(( ) = A2 , ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(( ) = E , то A1(1,0), A2(0,1), E(1,1). Теперь понятно, почему точка E называется единичной.
Замечание. Позже будет показано, что координаты точки M в репере R не зависят от выбора точки O. Заметим также, что для любой точки M(x1: x2) числа x1, x2 не равны нулю одновременно: x12 + x22 0.
Очень простой смысл имеют проективные координаты в репере, первая точка которого несобственная. Пусть R = {A1 , A2, E} – такой репер
и M – произвольная собственная точка на прямой a; ¯ . Тогда прямая OA1 a; ¯ . Обозначим
e;\s\up8(( = OE;\s\up10( –(, e1;\s\up8(( = A2E;\s\up10( –( , e2;\s\up8(( = OA2;\s\up10( –( , x;\s\up8((= OM;\s\up10( –( .
Тогда A2M;\s\up10( –( e1;\s\up8(( , т.е. xR: A2M;\s\up10( –(= xe1;\s\up8(( .
Поэтому
x;\s\up8(( = OA2;\s\up10( –( + A2M;\s\up10( –( = xe1;\s\up8(( + e2;\s\up8(( .
Значит, проективные координаты x1: x2 точки M в таком репере будут x:1, где x – обычная координата точки M в аффинной системе координат на прямой a; ¯ с началом A2 и единичной точкой E . На рисунке M(3:1).
Опр.2.1.5. Проективные координаты в репере, одна точка которого несобственная, называются однородными аффинными координатами на прямой.