- •Методические рекомендации
- •Введение
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство.
- •1.1. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§2. Проективные координаты.
- •2.1. Проективные координаты на проективной прямой.
- •2.2. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •2.3. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •2.4. Связь между проективными координатами на плоскости и на прямой.
- •2.5. Однородные аффинные координаты на плоскости, как частный случай проективных координат.
- •2.6. Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •2.7. Уравнение прямой на плоскости.
- •2.8. Теорема Дезарга.
- •Вопросы и упражнения.
- •§3. Проективные преобразования плоскости.
- •3.1. Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •3.3. Основное свойство проективных преобразований.
- •3.4. Гомология.
- •3.5. Проективная группа плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§4. Сложное отношение.
- •4 .1. Определения и свойства.
- •4.2. Формулы сложных отношений.
- •4.3. Гармоническая четверка точек.
- •Вопросы и упражнения.
- •§5. Кривые второго порядка.
- •5.1. Определение и типы кривых второго порядка.
- •5.2. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •5.4. Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •5.6. Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •5.8. Теоремы Паскаля и Брианшона.
- •Вопросы и упражнения.
- •Литература.
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство. 4
- •§2. Проективные координаты. 11
- •§3. Проективные преобразования плоскости. 24
- •§4. Сложное отношение. 29
- •§5. Кривые второго порядка. 36
- •Учебное издание
- •Проективная геометрия
- •210038, Г.Витебск, Московский проспект, 33.
5.4. Полюс и поляра.
Опр. 5.4.1. Пусть кривая 2 порядка задана в плоскости (; ¯ уравнением (5.1.1), и A(ai ) – произвольная точка плоскости (; ¯ . Полярой точки A относительно называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
(;\s\do10(i(аij ai) xj = 0 (;\s\do10( j =1uj xj = 0 , (5.4.1)
где мы обозначили uj = (;\s\do10(i =1аij ai. Мы видим, что поляра – это прямая (если не все uj = 0). Точка A называется полюсом этой прямой. Уравнение (5.4.1) совпадает с (5.3.2), и поэтому, если A , то полярой к A будет касательная к кривой в точке A .
5.5. Геометрический смысл поляры.
Опр. 5.5.1. Точка B называется сопряженной с точкой A относительно кривой , если (ABM1M2) = –1, где {M1, M2} = AB .
О чевидно, что
1. если B сопряжена с A , то A сопряжена с B;
2. на каждой прямой, которая проходит через A , существует единственная точка B, сопряженная с A (четвертая гармоническая к M1, M2, A ).
Пусть заданы точки A(ai ), B(bi ) и кривая с помощью уравнения (5.1.1). По определению (ABM1M2) = –1. Поскольку {M1, M2} AB, то координаты M1, M2 можно записать так: 1ai + 1bi , 2ai + 2bi , где 1/1 и 2/2 – корни уравнения (5.2.2). В соответствии с (4.2.2)
(ABM1M2) = : .
Поэтому
: = –1 + = 0 .
По теореме Виета для уравнения (5.2.2) получаем
(;\s\do10(iаij aibj = 0, (5.5.1)
Это и есть условие сопряженности точек относительно кривой .
Сравним теперь (5.5.1) и (5.4.1). Мы видим, что справедлива следующая теорема.
Теорема 5.5.1. Поляра точки A относительно кривой второго порядка есть множество точек, сопряженных к A относительно .
5.6. Принцип взаимности поляр.
Теорема 5.6.1. Если точка B принадлежит поляре точки A, то A принадлежит поляре точки B.
Пусть кривая имеет уравнение (5.1.1), а точки A и B – координаты ai и bi . Пусть p(A) и p(B) – поляры точек A и B. Уравнение p(A): (;\s\do10(i(аij ai) xj = 0 ; уравнение p(B): (;\s\do10(i(аij bi) xj = 0 ;
B p(A) (;\s\do10(iаij aibj = 0 (;\s\do10(iаij biaj = 0 A p(B) .
И з этой теоремы вытекает удобный способ построения поляры. Необходимо рассмотреть два случая:
1) из точки A можно провести 2 касательные к кривой ;
2) из A нельзя провести ни одной касательной к .
1 . Пусть l1 и l2 – касательные к , проведенные из точки A, а P и Q – точки касания. Тогда l1= p(P), l2= p(Q). Значит, A p(P) и A p(Q) P p(A) и Q p(A) PQ = p(A).
Тот же рисунок показывает, как построить полюс прямой PQ, если она пересекает .
2. Проведем через точку A две произвольные прямые a и b. Построим полюсы этих прямых: K1 и K2. Тогда
A a = p(K1) K1 p(A)
A b = p(K2) K2 p(A)
И обратно, если дана прямая K1K2, мы можем построить ее полюс A.
Пример. Дано уравнение кривой : х12 – х22 + 2х32 + 4х1х2 – 2х2х3 = 0 и точка B(0: 2: –1) .
Уравнение поляры запишем в матричном виде: BTAX = 0, или
1 2 0 х1 х1
0 2 –1 2 –1 –1 х2 = 0; 4 –1 –4 х2 = 0;
0 –1 2 х3 х3
4х1 – х2 – 4х3 = 0 .