Глава 5 механические колебания и волны

5.1.Основные понятия

Периодическими называются колебания, при которых значения физических величин повторяются через равные промежутки времени.

Период колебаний (с) – время одного колебания.

Частота (с^-1=Гц) – число полных колебаний в единицу времени .

Циклическая (круговая) частота (рад/с) – количество полных колебаний за секунд.

Связь частоты и периода колебаний: .

Гармоническими называются колебания, в которых физическая величина меняется по гармоническому закону:

, где

– амплитуда колебаний — максимальное значение колеблющейся величины .

Например, – наибольшее отклонение маятника.

– фаза колебаний в момент времени .

– начальная фаза колебаний.

5.2.Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний

 Пусть материальная точка совершает гармонические колебания. При этом ее смещение от положения равновесия меняется со временем по закону:

.

 Скорость – первая производная смещения по времени совершает гармонические колебания с амплитудой .

 Ускорение – вторая производная смещения по времени совершает гармонические колебания с амплитудой .

 Запишем соотношение для ускорения в виде:

.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний, поскольку его решение имеет вид:

.

Любые колебания, подчиняющиеся указанному дифференциальному уравнению, являются гармоническими с собственной циклической частотой .

Амплитуда и начальная фаза определяются из начальных условий.

5.3. Примеры свободных гармонических колебаний

Свободными гармоническими называются колебания, происходящие в замкнутой системе без трения под действием возвращающей силы, пропорциональной смещению от положения равновесия.

Рис. 5.3.1

Пружинный маятник – груз массой на пружине жесткостью . Колебания совершаются под действием силы упругости (рис 5.3.1). По закону Гука: .

По второму закону Ньютона: или

.

Получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Значит колебания пружинного маятника гармонические с собственной циклической частотой

и периодом .

Рис. 5.3.2

Физический маятник — твердое тело массой с моментом инерции относительно оси вращения , расположенной выше центра тяжести (рис 5.3.2). Тело совершает вращательно–колебательные движения под действием момента силы тяжести: .

Для малых колебаний , . Таким образом, .

По второму закону Ньютона для вращательного движения:

.

Получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Значит малые колебания физического маятника гармонические с собственной круговой частотой

и периодом

.

Рис. 5.3.3

Математический маятник – материальная точка массой , подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной . Математический маятник – это предельный случай физического маятника (рис.5.3.3), вся масса которого сосредоточена в центре инерции . Учитывая, что момент инерции материальной точки , получаем циклическую частоту

и период

колебаний математического маятника.

Превращение энергии при гармонических колебаниях.

При свободных гармонических колебаниях выполнятся закон сохранения механической энергии: в любой точке траектории сумма кинетической и потенциальной энергий одинакова.

● Для пружинного маятника: . Полагая , получим

–кинетическая. энергия в момент времени t.

– потенциальная энергия в момент времени t.

— полная механическая энергия в любой момент времени одинакова и пропорциональна квадрату амплитуды.

● Для математического маятника:

.

, — амплитуда и текущее значения смещения, — максимальная и текущая высота подъема материальной точки, — максимальная и текущая скорость материальной точки.

 Общий случай ^#.

При наличие минимума в т. в потенциальной энергии колеблющейся системы , энергию можно представить в виде рада Тейлора:

.

Колебания называются малыми, если можно пренебречь всеми членами, кроме первого, так что

.

Так как , то — квазиупругая сила,

где —коэффициент квазиупругой силы.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний приобретает вид

( , ),

где — собственная циклическая частота,

— мера инертности системы, например, масса, момент инерции и др.