Вопрос 4

Формалистская философия математики.

Вторая половина XIX. Дело шло от математиков.

Герман Грассман (1809-1877). Математика не наука, имеющая предмет, это формальные теории, признаки для перехода к содержанию теорем. Математика не наука, а метод. Грассман делил на формальное и содержательное. Формальные науки согласовывают истины, их принцип - непротиворечивость, а для содержательных наук - истинность. Математика свободная, создает любые объекты. Никакой речи об отражении мира.

Формальная наука только математика. Для получения глубинной информации опыт нужно обрабатывать глубинной математикой.

Опыт: механика, физика, биология, социология.

Мат -> мех ->физ –> хим -> биол … (от абстрактного к конкретному, Огюст Конт, классификация наук, мир опыта). У Грассмана метод (математика) не связан с опытом.

Гильберт, Пуанкаре: "Существовать значит быть непротиворечивым".

Георг Кантор: "Нужны постулируемые объекты. Приемлема любая непротиворечивая структура".

К программам обоснования

Непротиворечивость, проблемы обоснования математики.

Обосновать математику – устранить разногласие между математической практикой и математической философий.

Иррациональные числа (все есть число). Мнимые числа. (фикции).

Всего можно выделить три крупных кризиса в обосновании математики.

1. Пятый век до н э – открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Кризис несоизмеримости.

2. 17-18 вв – кризис определений. Анализ развивался, однако четкой системы определений не было. 1765 год – Лагранж четко разделил приращение и дифференциал.

3. 19 век – кризис теории множеств – парадоксы, от который не понятно как избавляться.

Парадокс Кантора про множество всех множеств M. С одной стороны, |РМ (множество подможеств)|>|M|, но с др. стороны, PM лежит в M => |PM|<=|M|.

Кантор избавился от этого парадокса так: математика должна ограничиться лишь бесконечностями, которые можно увеличить, а остальные (например, М) – относятся к теологии. Однако позже аналогичный парадокс привел Рассел для нормальных множеств, которые попадают в число «хороших» по Кантору:

Парадокс Рассела-Цермело. Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.

Парадокс Ришара. Расположим все определения арифметики в лекс порядке. Каждому поставим в соответствие порядковый номер. Число n наз. ришаровым, если оно не обладает свойством под номером n. Пусть т - номер вышеприведенного определения. Тогда т и ришарово, и не ришарово.

Что делать?

Философия математики 20 века в значительной мере определена этим вопросом: абсолютно ли строга математика или уязвима для противоречий? Дух нашего времени – релятивистский.

Вопрос 5

Логицистская программа обоснования математики.

Основоположник – немецкий математик Г. Фреге (1849 − 1925). Современная мат. логика, семантика идут от него.

Идея: Считал, что Вейерштрасс свел матан к арифметике (на самом деле к теории Rчисел + аксиома выбора). Как оправдать арифметику? Свести к логике.

Законы логики – краеугольные камни нашего мышления, они непротиворечивы

Поэтому сводим анализ к действительным числам, действительные числа к натуральным (вот тут-то и облом), а натуральные числа к логике. Логика-> онтология (категории, априорные структуры мышления). Логика по Фреге абсолютна, ее законы сдвинуть нельзя(в этом смысле все логицисты –последователи Лейбница, так как он первый это сказал).

Фреге пытался свести арифметику к логике. Как?

Все натуральные числа можно выразить через предикаты. Поэтому и вся арифметика также может быть выражена предикатами.

Исключить 0, 1, 2…

0 = !сущ xF(x)

Ф1 1 = сущx (F(x)&F(y) ->x=y)

Ф2 2 = сущxсущy ((x!=y) F(x) &F(y) &F(z) -> (z=x) || (z=y))

Ф3 3 = …

1+2=3 Ф1 & Ф2 ->Ф3

Фреге настаивал на том, что существует что-то за категориями.

Бертран Рассел (английский математик, философ, 1872 - 1970) прочитал Фреге, ему понравилось. Рассел заметил, что, если не вводить ограничений на объекты, то получатся парадоксы (парадокс нормальных множеств, проблема возвратности) – первая проблема.

Он решил, что эту ошибку Фреге можно исправить и принялся разрабатывать идею типов. Идея типов состоит в том, чтобы разграничить предикаты по уровням. Математик должен мыслить с исходного предмета.

a, b, c первого типа, сами объекты.

f(a), g(b), h(c) второго типа, свойства объектов.

F(f), G(g), H(h) третьего типа, более высокие свойства. И т.д.

Предикат n-го уровня должен определяться только предикатами меньшего уровня.

Множество всех нормальных множеств тогда можно исключить. Но идея типов урезает математику, половина математики окажется некорректной. Идея типов выросла в теорию типов и математики забеспокоились, что она слишком уж ограничивает математику и стали искать ослабления. Что запретить, а что оставить? Задача: принять теорию типов в минимальном образе (устранить противоречия), определить понятия, которые можно привести к “хорошему” виду.

Уайтхед и Рассел написали PrincipiaMathematica (1910-1913), в котором пытались найти новый подход к логицистскому обоснованию математики, однако получили прямо противоположный результат.

Дело вот в чем: по Фреге утверждения типа 5+7=12 являются аналитическими (вспомним Канта), как и вообще все утверждения в математике, так как они получаются из натуральных чисел путем всяких переформулировок на языке предикатов. То есть если бы удалось свести математику к логике, она была бы просто тавтологией. В том числе и теория множеств. Однако есть конструктивные моменты (аксиома бесконечности, аксиома выбора), которые ну никак нельзя считать аналитическими. Это и есть вторая проблема этой программы.

Изложили математику в свете теории типов, опровергли сами себя: все аксиомы Цермело можно переложить на язык многопорядковой логики, кроме аксиомы бесконечности и аксиомы выбора. Логика + Аксиома бесконечности =>Непротиворечивость аксиоматики Цермело.

Логика понимается слишком широко, можно вывести что угодно.

Аксиома бесконечности взята из окружающего мира => окончательно точной математика быть не может, обосновать математику нельзя.

// Вероятно, аксиома бесконечности не имеет отношения к реальности.

Вывод: обосновать математику через формальную логику нельзя, так как математика обладает бОльшим содержанием, чем логика. Логика конечна, математика бесконечна. Нельзя свести бесконечное к конечному. Математика шире логики. Однако плюсы тоже есть – развитие логики + появилась крутая теория типов.