Часть 3 Вопрос 1

Пифагореизм как философия математики.

Математика и философия почти не отделялись. Математики и философы не отделялись вовсе.

Пифагор разделял мир на чувственный / эфемерный (вокруг нас) и умозрительный / идеальный / вечный (космос), который способны видеть только достаточно сильные разумом. Разделяет опытное и теоретическое. Опытное может быть ошибочным, но мы можем уловить суть.

Планеты вращаются по идеальным сферам + музыка. Космос - идеальный неподвижный мир, наука о нем - математика. Предмет математики – космос => она вечная наука. От чувств мы получаем мнение. 5 многогранников в основе космоса.

Все есть число, и не из воды возник мир, а из законов арифметики. Математика – основание онтологии. Бог согласовывался с числом. Каждой вещи – соразмерность числа. Числа – первоматерия, предшествующая миру. Геометрическая гармония.

К числу нельзя добавить лжи.

Платон: развитие пифагоризма.

1. Есть идеи, находятся в другом мире, а не в телах.

2. Есть тела.

3. Математика находится между идеями и вещами.

Космология строится на основе правильных геометрических фигур.

Теория прошла через все средние века, даже есть частично Лейбница: душа как монада связана с Богом => мат. идеи. Через Бога они входят в душу человека.

Человек знает всю математику => знает все (Артур Эддингтон).

Вопрос 2

Эмпирическая философия математики.

В античности эмпиризм – Аристотель, отвергал Платона. Всякое знание идет от чувств. И все. Математику взяли из физики: у тела есть форма, мы абстрагируем и идеализируем форму тела. Существует структура, предшествующая миру.По бытию вещи первичны, математика - вторична.

Математические предметы не находятся вне тела. Математических предметов нет и внутри тела. Математические предметы – создаются умом человека, абстракции от вещей. Математик отвлекается от всего, в том числе от движения. Физика абстрагируется от всего кроме движения. Математика строга потому, что проста, плюс высокий уровень абстракции.

Из простоты – уровень отвлеченности. Если учитывать слишком много свойств, то это не строго. Абстракция – идеально простое, ничего человеческого, физического, кроме математики. Математика изучает соразмерность => математика – наука о прекрасном.

В настоящее время большинство людей видят математику именно таким образом. Бэкон, Ньютон, Лобачевский, Локк. Если математика взята из опыта, то почему она не опровергается? Развитие математики стало выдвигать понятия, не являющиеся исходящими из опыта явно.

Но из какого опыта следуют мнимые числа?

Возражения:

• В отличие от физических законов, математические законы не корректируются.

• Не все суть абстракция реальности.

Опровергаются физические законы, а математические нет.

Вопрос 3

Априоризм как философия математики.

XVIII – Кантовская философия математики. Математика – учение о внутренней структуре нашего сознания. Предмет математики внутри нас.

Человеческое познание опирается на априорные представления о пространстве и времени (априорные формы чувственности). Из пространства мы берем интуицию геометрии, а из времени - интуицию арифметики. Мы не можем абстрагироваться от объема тела и присутствия по времени.

Математика не нуждается в космосе, вещах и т.п. Математика получается в результате инстроспекций. Смотрим внутрь себя. Физика – вперед себя.

Почему математика никогда не опровергается?

Наше представление о пространстве и времени – априорно.

Математическое существование. Есть объекты данные в созерцании, они существуют: точка, прямая и т.п. Конструируем треугольник. Но не дан 1000-угольник в созерцании, конструируем дальше.

Противоречие: существует геометрия Лобачевского.