1.9.10. Экстремум функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть функция f(x₁, ..., x_m) определена на множестве . Внутренняя точка называется точкой локального максимума (минимума), если существует такая окрестность U(M₀) точки М₀, что для всех М(х₁, ..., х_m)  U(M₀) выполняется неравенство f(M)  f(M₀) [f(M)  f(M₀)].

Определение 2. Точка М₀ локального максимума или локального минимума называется точкой локального экстремума.

Теорема (Необходимое условие локального экстремума). Пусть функция f(x₁, ..., x_m) определена в некоторой окрестности т. , дифференцируема в точке М₀, и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда все частные производные первого порядка функции f в т. М₀ равны нулю:

Доказательство: Докажем, что . Если точка является локальным экстремумом функции f(x₁, ..., x_m), то, очевидно, точка является точкой локального экстремума функции одной переменной x₁. По теореме Ферма получаем (см. рис. 1)

Рис.1

Пример 1. Найдем точки экстремума функции z = x² + y². Точки экстремума в силу доказанного находятся среди тех, для которых , т.е. . Система имеет единственное решение (0,0). Убедимся, что в этой точке действительно функция имеет экстремум. Для этого заметим, что в т. (0,0) z=0, во всех других точках z=x²+y²>0. Поэтому точка (0,0) является не только точкой локального минимума (но и “глобального” минимума) (см. рис.2).

Пример 2. Исследуем точки экстремума функции z=x²-y².

Поступая аналогично предыдущему случаю, находим

; .

Решение (0,0), т.е. если функция z=x²-y² имеет экстремум, то он может быть только в этой точке.

Исследуем, имеет ли функция z=x²-y² в точке (0,0) локальный экстремум. В т. (0,0) z=0. Однако здесь при у=0 и любых х0 z=x²>0, а при х=0 и любом у0 z=-у²<0. Поэтому точка (0,0) не является точкой локального экстремума функции z=x²-y² . Функция z=x²-y² вообще не имеет точек экстремума. (см. рис.3).

Рис.2 Рис.3

Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого порядка функции f(x₁, ..., x_m), называются стационарными точками этой функции.

Примеры 1 и 2 показывают, что в каждой стационарной точке требуется дополнительное исследование на экстремум, т.е. нужны достаточные условия экстремума.

Прежде, чем их сформулировать, напомним некоторые сведения из теории квадратичных форм.

Определение 3. Функция (a_ik = a_ki) (1)

переменных h₁, ..., h_m называется квадратичной формой.

Числа a_ik называются коэффициентами квадратичной формы.

Определение 4. Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных h₁, ..., h_m , для которых выполняется условие , эта форма имеет положительные (отрицательные) значения. Положительно определенные и отрицательно определенные формы объединяются общим названием - знакоопределенные формы.

Сформулируем критерий знакоопределенности квадратичной формы - критерий Сильвестра.

Для того, чтобы квадратичная форма (1) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:

Для того, чтобы квадратичная форма (1) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства:

Пример 3. А(h₁,h₂) = - положительно определенная квадратичная форма, т.к.

Пример 4. А(h₁,h₂) = не является знакоопределенной, т.к.

Вернемся теперь к рассмотрению функции f(x₁, ..., x_m) и заметим, что второй дифференциал функции в т. представляет собой квадратичную форму относительно переменных dx₁, ..., dx_m:

.

Замечание. Если функция f имеет непрерывные вторые частные производные, то второй дифференциал является квадратичной формой с симметричной матрицей, т.к.