1.9.2. Последовательности точек из Rm.

Определение 1. Пусть каждому натуральному числу n поставлена в соответствие некоторая точка M_n  R^m (не обязательно различные точки для разных n). Тогда множество точек M₁, M₂, ..., M_n, ..., взятых в указанном порядке, называется последовательностью точек из пространства R^m.

Пример 1. - последовательность точек из R²

Определение предела последовательности точек из R^m по своей структуре не отличается от определения в одномерном случае:

последовательность сходится к т. АR^m, если начиная с некоторого номера, все элементы последовательности попадают в любую наперед заданную окрестность т.А. (Точка А называется пределом последовательности, а последовательность - сходящейся). Используя логическую символику определение предела последовательности можно записать в следующей форме

Опр. 2

Пример 2.

На этом примере мы видим, что не только последовательность сходится к началу координат, но и каждая координата M_n имеет нулевой предел. В общем случае справедливо

Утв. 1 Для того, чтобы последовательность

сходилась к точке А(а₁, ..., а_m), необходимо и достаточно, чтобы

(i = 1, 2, ..., m).

Доказательство: 1) (i = 1, ..., m).

Отсюда при и, в частности, а это означает, что последовательности координат точек M_n сходятся соответственно к а₁, ..., а_m.

2) .

(i=1, ..., m).

Положим , тогда для n>N выполнено неравенство

,

т.е. , и, следовательно, .

Утверждение 1 доказано.

Опр. 3 Последовательность называется ограниченной, если все ее элементы содержаться в некотором шаре.

Опр. 4 Пусть n₁, n₂, ..., n_k, ... - произвольная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, тогда последовательность называется подпоследовательностью последовательности .

Замечание: Если последовательность имеет предел, то и любая ее подпоследовательность имеет предел.

Теорема 1. Из любой ограниченной последовательности точек из R^m можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Пример 3. ограничена (но не имеет предела).

1.9.3. Понятие функции нескольких переменных

Опр.1 Если каждой точке М множества из R^m поставлено в соответствие вещественное число u, то говорят, что на этом множестве определена функция u=f(M) (или u=f(x₁, ..., x_m)). Множество называется областью определения функции.

Пример 1. . Область определения находим из условия a²-x²-y²  0  x² + y²  a².

Пример 2. u = ln (z - x² - y²). Следовательно, область определения расположена над эллиптическим параболоидом z = x² + y².

Опр. 2 Графиком функции u=f(M) называется совокупность точек

(M, f(M)), M  . График функции u=f(M) является гиперповерхностью в пространстве R^m+1.

Пример 3. z = x² + y² +1. График функции имеет вид

Опр. 3 Множество точек М(х₁, ..., х_m) пространства R^m, удовлетворяющих уравнению f(x₁, ..., x_m) = C , где С - const, называется множеством уровня функции f.

Линии уровня (m = 2) и поверхности (m = 3) дают информацию о поведении функции.

Пример 4. z = x² +y² +1. Линии уровня имеют вид:

x2 + y2 +1 = C x2+y2 = C-1

Пример 5. u = x² + z² - y² . Поверхности уровня имеют уравнения

С = 0 x² + z² - y² = 0 - конус;

С > 0 x² + z² - y² = C - семейство однополостных гиперболоидов;

С < 0 x² + z² - y² = C - семейство двухполостных гиперболоидов.