1.9.6.2. Дифференцируемость функции нескольких переменных

Определение 2. Функция u=f(x₁, ..., x_m) называется дифференцируемой в точке M(x₁, ..., x_m), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

f(x₁+x₁, ..., x_m+x_m) - f(x₁, ..., x_m) 

 u = A₁x₁ + A₂x₂ + ... + A_mx_m + ₁x₁ + ... + _mx_m,

где А₁, А₂, ..., А_m - некоторое, не зависящие от x₁, ..., x_m, числа,

а ₁, ₂, ..., _m - бесконечно малые при x₁0, ..., x_m0 функции, равные 0 при x₁=x₂=...=x_m=0.

Если положить , то условие дифференцируемости может быть записано в виде:

u = A₁x₁ + A₂x₂ + ... + A_mx_m + )() (1)

Оба представления эквивалентны и означают, что приращение функции представимо в виде линейной части (по x₁, ..., x_m) и членов более высокого порядка (по x₁, ..., x_m или ).

Теорема 1. Если функция u=f(x₁, ..., x_m) дифференцируема в точке

M(x₁, ..., x_m), то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем , где А_i определяются из условия дифференцируемости.

Доказательство: Положим в условии дифференцируемости все приращения, кроме x_k, равными нулю, тогда для частного приращения справедливо представление

x_ku = A_kx_k + _k x_k

Отсюда

и т.к. _k  0 при x_k  0, то

.

Следствие. Условие дифференцируемости функции в данной точке можно записать в виде:

Замечание 1. Существования частных производных в точке не достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.

Пример 4.

Покажем, что эта функция не дифференцируема в т. (0,0). Этого следует ожидать, т.к. порядок приращения функции в нуле равен ( ), а в условии дифференцируемости требуется, чтобы порядок приращения был не ниже первого.

Предположим, что приращение функции представляется в виде

u = 0x + 0y + 0().

Это означает, что ; ,

т.е. должно выполняться условие

.

Положив x = y, получим

.

Отсюда следует, что не является 0(), т.е. функция не является дифференцируемой в нуле.

Замечание 2. Из дифференцируемости функции в точке следует ее непрерывность в этой точке. Действительно, из представления (1) следует, что .

Обратное неверно даже в одномерном случае.

В предыдущем примере функция не является дифференцируемой, но является непрерывной. Действительно

при .

Здесь использовано неравенство , которое, очевидно, следует из неравенства (а-b)²  0.

1.9.6.3. Достаточное условие дифференцируемости

Пусть функция u = f(x₁, ..., x_m) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки , и эти частные производные непрерывны в самой точке М₀, тогда эта функция дифференцируема в т. М₀. Принимая утверждение без доказательства, мы только отметим, что здесь частные производные рассматриваются как функции m переменных (x₁, ..., x_m) в окрестности точки М₀, причем эти функции непрерывны по совокупности переменных в т. М₀ (и противоречия с примером 3 этой темы нет).

1.9.6.4. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных u=f(x,y)

Определение 1. Касательной плоскостью к графику функции u=f(x,y) в точке (х₀, y₀, f(x₀,y₀)) называется такая плоскость, что разность ее апликаты и значения функции f(x,y) является величиной, бесконечно малой по сравнению с  при 0, где

.

Пусть u₀ = f(x₀,y₀), u = f(x,y), тогда условие дифференцируемости в т. (x₀,y₀) этой функции записывается в виде

u - u₀ = A(x-x₀)+B(y-y₀)+0(),

или

u = u₀ + A(x-x₀)+B(y-y₀)+0().

Рассмотрим следующую плоскость

U-u₀ = A(x-x₀) + B(y-y₀)

(U - откладывается на той же оси Оz, что и u), тогда ее апликата U определяется равенством

U = u₀ + A(x-x₀) + B(y-y₀),

и разность

U-u = u₀ + A(x-x₀) + B(y-y₀) - (u₀+A(x-x₀) + B(y-y₀) + 0()) = 0().

Таким образом, если функция u=f(x,y) дифференцируема в т. (x₀,y₀), то график этой функции в соответствующей точке (x₀,y₀, f(x₀,y₀)) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением

z - f(x₀,y₀) =

Из аналитической геометрии известно, что нормальный вектор к этой касательной плоскости имеет координаты

.

Уравнения нормали к касательной плоскости в т. (x₀,y₀, f(x₀,y₀)) имеют вид:

.

Замечание. Касательная плоскость может быть определена также следующим эквивалентным образом.

Определение 2. Плоскость П, проходящая через точку N₀ поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точку N₀ и любую точку N₁ поверхности, стремится к нулю, когда точка N₁ стремится к N₀.

Пример 1. Дана функция z = 2x² - 3xy + 4y² - 2x + y

и точка (1,1). Написать уравнение касательной плоскости в соответствующей точке графика этой функции, а также уравнения нормали.

Уравнение касательной плоскости

z - 2 = -1(x-1) + 6(y-1)

Уравнения нормали к графику функции в той же точке имеют вид: