1.9.7. Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных.

1.9.7.1. Частные производные высших порядков

Пусть частная производная функции u=f(x₁,...,x_m) существует в каждой точке некоторого множества , т.е. представляет собой функцию переменных x₁, ..., x_m.

Если эта функция имеет частную производную по переменной х_k в некоторой точке М₀, то она называется второй частной производной функции f(x₁, ..., x_m) по переменным x_i и x_k и обозначается

Совершенно аналогично определяются и последующие частные производные функции f.

Таким образом,

Если не все индексы i₁, ..., i_n совпадают между собой, то частная производная называется смешанной.

Вычисляются частные производные по тем же правилам, что и обыкновенные производные. Необходимо только следить при каждом дифференцировании, чтобы все переменные, кроме одной, считались постоянными.

Пример 1. Вычислить все частные производные второго порядка.

(Здесь y = const)

(Здесь х = const)

(Здесь y = const)

(Здесь х = const)

Замечание. В этом примере . Равенство смешанных производных будет иметь место не всегда, а при выполнении некоторых условий; а именно, справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть функция u=f(x₁, ..., x_m) определена в открытой m - мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D. Тогда значение любой к-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

В подавляющем большинстве конкретных задач условия теоремы выполняются, и смешанную производную можно вычислять, не обращая внимания на порядок последовательных дифференцирований.

1.9.7.2. Дифференциалы высших порядков

Пусть в некоторой области задана дифференцируемая функция

u=f(x₁, ..., x_m), тогда в каждой точке этой области определен дифференциал

Здесь частные производные являются функциями от x₁, ..., x_m. Если существуют непрерывные частные производные второго порядка для u, то du будет иметь непрерывные частные производные по x₁, ..., x_m. Будем считать, что dx₁, ..., dx_m постоянны, тогда можно определить дифференциал от первого дифференциала:

При вычислении дифференциалов от частных производных будем считать, что dx₁, ..., dx_m имеют те же самые значения, что и в исходном дифференциале du.

Полученное таким образом выражение мы назовем дифференциалом второго порядка функции u

Точно так же мы определим и последующие дифференциалы функции u с помощью равенства

.

Пример 1. z = x²y³ Найти d²z.

Развернутые выражения для дифференциалов высших порядков довольно громоздкие. Однако, символически они записываются очень компактно. Запишем дифференциал в символической форме.

(u вносим в скобки и считаем и получаем обычное выражение для du). Тогда

.

Здесь выражение в скобках возводится по обычным правилам в квадрат и затем считаем, что

.

Выражение для дифференциала порядка к принимает вид:

.

Пример 2. z = x²y³ Вычислить d³z

На основе примера 1 получаем

Отсюда

.

Замечание. Дифференциалы высших порядков, вообще говоря, не обладают свойством инвариантности их формы. Это имеет место уже для функций одной переменной. Однако, если x₁, ..., x_m являются линейными функциями переменных t₁, ..., t_k, то высшие дифференциалы можно вычислять по тем же самым формулам, которые мы только что рассмотрели. При этом, если

( - константы),

то (i = 1,...,m).

В частности, если все x_i зависят от одной переменной t, то в формулы для дифференциалов надо подставлять .

Это обстоятельство используется при доказательстве формулы Тейлора.