![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
- •5. Неравенство Коши.
- •6. Метрическое пространство .
- •7.Евклидово пространство .
- •8. Последовательности точек пространства .
- •9. Предел отображения.
- •10. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •11. Непрерывность отображения в точке.
- •12.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •13. Линейные отображения.
- •14. Дифференцируемые отображения.
- •15. Дифференциал и частные производные функции многих переменных.
- •16. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
- •18 Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •19.Производная по направлению. Градиент.
- •20. Частные производные высших порядков.
- •22. Теорема о среднем.
- •23.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •24. Необходимые условия экстремума.
- •25. Достаточные условия локального экстремума.
- •26. Неявные функции.
- •27. Обратное отображение.
- •28. Необходимые условия зависимости функций.
- •29. Достаточные условия зависимости функций.
- •31. Метод множителей Лагранжа.
- •32. Достаточный признак условного экстремума.
- •33. Абсолютный экстремум.
- •34. Понятие числового ряда и свойства сходящихся рядов.
- •35. Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •36. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •37. Интегральный признак сходимости ряда.
- •38. Знакочередующиеся ряды.
- •39.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •40. Признак Абеля и Дирихле.
- •41. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •42. Бесконечные произведения.
26. Неявные функции.
Опр 1. Отображение F называется непрерывно дифференцируемым на множестве X, если все его координатные функции непрерывно дифференцируемы на X, т.е. все его частные производные непрерывны на X.
Теорема 12. Пусть выполняются условия:1) Отображение F(x,y) непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки (a,b) € n+m 2)F(a,b) = 0. 3)det F"y (a,b) ≠0. Тогда существуют окрестности V(a) € n U(b) € т, что для любого x € V(a) существует и притом единственное значение y €U(b), что F(x,y) = 0. Если y = f (x) указанное решение, то отображение f непрерывно дифференцируемо на множестве V(a), причем b = f(a).
27. Обратное отображение.
Теорема 13. Пусть f : X → Rn, X С Rn, причем:
отображение f непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки a € X;
f (a) = b;
det f'(a) ≠0.
Тогда существуют окрестности V(a) С Rn, U(b) С Rn и существует обратное отображение = f -1 такое, что : U(b) →V(a), - единственно, (b) = a и отображение непрерывно дифференцируемо на U(b).
Доказательство. Рассмотрим функцию F(x, y) = f (x)—y. Тогда отображение y = f (x) запишется в виде F(x, y) = 0. Из условий теоремы 12 следует, что F(x, y) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (a, b) и F(a, b) = 0, det Fx' ( a, b) = det f'(a) ≠ 0. Таким образом, выполняются все условия теоремы о неявной функции, откуда и следует утверждение данной теоремы.
28. Необходимые условия зависимости функций.
Пусть
на открытом множестве G
€ Rn
задано m
непрерывно
дифференцируемых функций yi
=
fi(x),
x
€ G,
i
= 1,
m.
(10.33)
Если
существует открытое множество D
С Rm-1
и
непрерывно дифференцируемая на D
функция
F
: D
→ R
такая,
что F(fi(x),...,fm-1(x))
=
fm(x),
x
€ G, (10.34)
то
будем говорить, что функция fm
зависит
от функций f1(x),...,
fm-1
(x)
на
множестве G.
Если
среди функций (10.33) есть функция, зависимая
от остальных на множестве G,
то система функций (10.33) называется
зависимой на множестве G.
Если ни одна из функций (10.33) не зависит
от остальных на множестве G,
то система функций (10.33) называется
независимой на множестве G.
В
вопросах зависимости функций (10.33) важную
роль играет матрица Якоби.
(10.35)
Теорема
14.
Пусть
m
<= n
и система функций (10.33) является зависимой
на открытом множестве G,
тогда ранг матрицы Якоби меньше m
в любой точке множества G.
Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что fm зависит от функций f1, . . . , fm-1 на G, т.е. имеет место (10.34). Тогда из (10.34)
Отсюда следует, что m-ая строка матрицы (10.35) является линейной комбинацией остальных строк, следовательно ранг матрицы (10.35) меньше m, что и требовалось доказать. □
Следствие 1. Если m = n и система функций (10.33) зависимая на открытом множестве G, то
в каждой точке множества G.
Следствие 2 (достаточное условие независимости функций). Если m <= n ив какой-либо одной точке открытого множества G ранг матрицы (10.35) равен m, то система функций (10.33) является независимой на множестве G.
Доказательство. Пусть система функций (10.33) зависима на G, тогда в любой точке этого множества ранг меньше m. Пришли к противоречию. □
Поскольку элементы строк матрицы (10.35) являются координатами векторов grad fi(x), i = 1,…m, то теорему 14 можно сформулировать следующим образом:
Если m <=n и система функций (10.33) является зависимой на открытом множестве G, то векторы grad fi(x), i = 1,m линейно зависимы в каждой точке множества G.