![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
- •5. Неравенство Коши.
- •6. Метрическое пространство .
- •7.Евклидово пространство .
- •8. Последовательности точек пространства .
- •9. Предел отображения.
- •10. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •11. Непрерывность отображения в точке.
- •12.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •13. Линейные отображения.
- •14. Дифференцируемые отображения.
- •15. Дифференциал и частные производные функции многих переменных.
- •16. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
- •18 Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •19.Производная по направлению. Градиент.
- •20. Частные производные высших порядков.
- •22. Теорема о среднем.
- •23.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •24. Необходимые условия экстремума.
- •25. Достаточные условия локального экстремума.
- •26. Неявные функции.
- •27. Обратное отображение.
- •28. Необходимые условия зависимости функций.
- •29. Достаточные условия зависимости функций.
- •31. Метод множителей Лагранжа.
- •32. Достаточный признак условного экстремума.
- •33. Абсолютный экстремум.
- •34. Понятие числового ряда и свойства сходящихся рядов.
- •35. Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •36. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •37. Интегральный признак сходимости ряда.
- •38. Знакочередующиеся ряды.
- •39.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •40. Признак Абеля и Дирихле.
- •41. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •42. Бесконечные произведения.
36. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
Теорема4
(пр-к
Д`Аламбера) Пусть для ряда
, где Un>0
сущ.
=ℓ,
тогда если ℓ<1, то ряд сходится; ℓ>1
− расх.
Док-во: Пусть
ℓ<1. Выберем ℓ<g<1.
Тогда сущ n0
>1, где для ¥ n>n0
а
значит Un<gUn-1
. Применяя это нерав-во для n=n0+1
n=n0+2
... получим, что
,
но ряд
в силу условия 0<g<1
сх. Поэтому согласно пр-ку сравнения
сходится и исходн. Ряд.
Если ℓ>1 То сущ
n0,
где для ¥ n>n0
а
значит Un>Un-1
. Применяя это нерав-во для n=n0+1
n=n0+2
... получим, что
Un +1 >Un >...>Un 0+1>Un0>0 Поэтому посл-ть исходного ряда не стремится к 0 и по необходимому пр-ку ряд не сход.
Следствие 2 (Признак Даламбера в предельной форме). Пусть un > 0, n =1, 2,... и
Тогда
если l < 1, то ряд (1.1, un) сходится;
если l> 1, то ряд (1.1) расходится.
Теорема
(Признак Коши): Пусть имеется ряд
,
где un
>=0, n=1,2,…Тогда,
1)если
то ряд 1.1 сходится 2) если
>=1,
то ряд 1.1.расходится.
Теорема5
(радикальный пр-к Коши) Пусть для
,
где Un≥0
сущ
,
если ℓ<1, то ряд сходится; ℓ>1 − расх.
Теорема
6(Признак
Раабе):Если сущ. предел
то ряд сходится при ℓ >1 и расхрдится при ℓ<1.
37. Интегральный признак сходимости ряда.
Теорема
10. Если
функция f
:
[1;+
)
неотрицательна
и убывает на этом промежутке, то ряд
(2.14)
сходится тогда и только тогда, когда
сходится несобственный интеграл
(2.15)
Доказательство:
Поскольку функция f убывает на промежутке [1; + ), то f (к + 1) < =f (x) < =f (к), к =1, 2,...,x € [к, к + 1]. Проинтегрируем это по отрезку x € [к, к +1] получим
(2.18)
Просуммировав это неравенство от к = 1 до n, будем иметь
(2.19)
где
Sn
-
частичная сумма ряда (2.14). Пусть ряд
(2.14) сходится и имеет сумму S.
Тогда
Sn<=S
т.к.последовательность {Sn}
не
убывает. Для любого
€
[1;+oo)
найдется
такое n,
что n>=
,
поэтому из (2.18) и (2.19) имеем, что
. Последнее означает, что несобственный
интеграл (2.15) сходится. Пусть несобственный
интеграл (2.15) сходится. Тогда
и, в силу (2.18) имеем, что
Последнее означает, что последовательность частичных сумм ряда (2.14) ограничена сверху, т.е. ряд (2.14) сходится
38. Знакочередующиеся ряды.
Теорема
Лейбница:
Если посл.
убывает и стремится к 0, т.е.
,
,
(1)
то ряд
(2) сходится, причём если
сумма ряда,
n-ая
частичная сумма ряда, то при
выполняется неравенство
.
Доказательство:
Прежде всего, отметим, что из условия
(1)
в силу чего члены ряда (2) поочерёдно то
>0, то <0. Ряды такого вида наз.
знакочередующимися. Частичные суммы
ряда (2) с чётными номерами возрастают
(частичные суммы с чётными номерами
возрастают)
Кроме
того посл-ть
ограничена сверху
Поскольку
последовательность
возрастает и ограничена сверху, то она
имеет конечный предел
Покажем,
что тот же предел имеет посл-ть частичных
сумм с нечётными номерами
,
а
тогда
поэтому посл-ть
всех частных сумм ряда (2) имеет конечный
предел, при этом поскольку посл-ть
возрастает то
,
посл-ть
убывает, т.к.
,
поэтому
.
Таким
образом
отсюда получаем
и
а это означает