- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
- •5. Неравенство Коши.
- •6. Метрическое пространство .
- •7.Евклидово пространство .
- •8. Последовательности точек пространства .
- •9. Предел отображения.
- •10. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •11. Непрерывность отображения в точке.
- •12.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •13. Линейные отображения.
- •14. Дифференцируемые отображения.
- •15. Дифференциал и частные производные функции многих переменных.
- •16. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
- •18 Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •19.Производная по направлению. Градиент.
- •20. Частные производные высших порядков.
- •22. Теорема о среднем.
- •23.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •24. Необходимые условия экстремума.
- •25. Достаточные условия локального экстремума.
- •26. Неявные функции.
- •27. Обратное отображение.
- •28. Необходимые условия зависимости функций.
- •29. Достаточные условия зависимости функций.
- •31. Метод множителей Лагранжа.
- •32. Достаточный признак условного экстремума.
- •33. Абсолютный экстремум.
- •34. Понятие числового ряда и свойства сходящихся рядов.
- •35. Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •36. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •37. Интегральный признак сходимости ряда.
- •38. Знакочередующиеся ряды.
- •39.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •40. Признак Абеля и Дирихле.
- •41. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •42. Бесконечные произведения.
15. Дифференциал и частные производные функции многих переменных.
Если векторы f (x + h), f (x), L(x)h, α(a; h) из Rm записать в координатах, то равенство (1) окажется равносильным m равенствам fi(x + h) — fi(x) = Li(x)h + αi(x; h), i = l,m (1.3) между действительными функциями, в которых Li(x) : Rn → R— линейные функции, а α i(x; h) = o(h) при h → 0, x + h €X, i = l,m. Таким образом, справедлива
Теорема 1. Отображение f : X — Rm, X € Rn дифференцируемо в точке x € X, предельной для множества X, тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы функции fi : X → R, i = 1,m, задающие координатное представление данного отображения.
Поскольку соотношения f (x + h) — f (x) = L(x) h + α(x; h) и (1.3) равносильны, то для отыскания дифференциала L(x)h отображения f : X — Rmдостаточно научиться находить дифференциалы Li(x)h его координатных функций fi : X → R.
Итак, рассмотрим действительную функцию f : X — К, определенную на множестве X € Rn и дифференцируемую во внутренней точке x € X этого множества. В дальнейшем нам большей частью придется иметь дело со случаем, когда X будет областью в Rn. Если x есть внутренняя точка множества X, то при любом достаточно малом смещении h от точки x, точка x + h также будет принадлежать X, и, следовательно, будет находиться в области определения функции f : X → R.
Если перейти к координатной записи точки x = (x1,..., xu), вектора h = (h1,..., hu) и линейной функции L(x)h = a1(x)h1 + . .. + an(x)hn, то условие f (x + h) — f (x) = L(x)h + o(h), при h → 0 перепишется в виде
f (x1 + h1,...,xn + hn) — f (x1, ...,xn) = a1(x)h1 + ... + an(x)hn + o(h), при h → 0,(1.4) где a1(x),..., a,n(x) - связанные с точкой x числа. Найдем эти числа. Для этого вместо произвольного смещения h рассмотрим специальное смещение
h = hiei = 0 • e1 + . .. +0 • ei-1 + hi • ei +0 • ei+1 + .. . + 0 • en на вектор hi, коллинеарный вектору ei базиса {e1,... ,eu} в Rn. Тогда \\h\\ = \hi\ и следовательно (1.4) перепишется в виде
f (x1,. . .,xi-1, Xi + hi,Xi+1, ...,Xn) — f (x1, ...,Xi,...,Xn) = ai(x)hi + o(hi), при hi → 0 (1.5) Это равенство означает, что если фиксировать в функции f (x1,... ,xi,...,xu) все переменные, кроме i-й переменной, то получаемая при этом функция i-й переменной оказывается дифференцируемой в точке xi. Из равенства (1.5), таким образом, находим, что
ai(x) = (1.6)
Определение
3.
Предел
(1.6) называется частной производной
функции f
(x)
в
точке x
=
(x1,...,
Xn)
по
переменной xi.
Его обозначают одним из следующих
символов
Утверждение 1. Если функция f : X → R, X С Rn дифференцируема во внутренней точке x €X этого множества, то в этой точке функция имеет частные производные по каждой переменной и дифференциал функции однозначно определяется этими частными производными в виде
16. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
В силу установленной эквивалентности соотношений (1) и (1.3) и утверждения 1, для любого отображения f : X — Rm, X С Rn, дифференцируемого во внутренней точке x € X этого множества, можно выписать координатное представление дифференциала df(x) в виде .(1.9)
Определение 4. Матрица .
называется матрицей Якоби отображения f : X — Rm, X С Rn в точке x. Если m = n > 1, то det f/(x) называется якобианом отображения f в точке x:
Из эквивалентности соотношений (1.2) и (1.3) и однозначности дифференциала функции многих переменных следует:
Утверждение 2. Если отображение f : X — Rm, X С Rn дифференцируемо во внутренней точке x € X, то оно в этой точке имеет единственный дифференциал, координатное представление которого задается соотношением (1.9).
17.Свойства дифференцируемых отображений. Теорема 2. Если отображения f : X → Rm, g : X → Rm, X С Rn дифференцируемы в точке x € X, то их линейная комбинация (λf + μg) : X →Rm также является дифференцируемым в этой точке отображением, причем имеет место равенство
(λf + μg)'(x) = (λf' + μg' )(x). Доказательство.( λf + μg)(x + h) — (λf + μg)(x) = (λf (x + h)+ μg(x + h)) — (λf (x) + μg(x)) = λ(f (x + h) — f (x) )+ μ (g(x + h) — g(x)) = λ(f '(x)h + o(h)) + μ (g'(x)h + o(h) = (λf '(x) + μg'(x)) h + o(h).□
Теорема 3. Если функции f : X → R, g : X →R, X С Rn дифференцируемы в точке x € X, то:1)их произведение дифференцируемо в точке x, причем (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f (x)g'(x); 2) их частное дифференцируемо в точке x, если g(x) ≠ 0, причем
Доказательство теоремы аналогично случаю функции одной переменной. Теорема 4. Если отображение f : X →Y, X С Rn, Y С Rm дифференцируемо в точке x € X, а отображение g : Y → Rs дифференцируемо в точке y = f (x), то их композиция = g о f : X → Rs дифференцируема в точке x и имеет место равенство '(x) = g'(y) f'(x).