![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.Несобственные интегралы и их свойства.
- •2. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
- •5. Неравенство Коши.
- •6. Метрическое пространство .
- •7.Евклидово пространство .
- •8. Последовательности точек пространства .
- •9. Предел отображения.
- •10. Предел по направлению. Повторные пределы.
- •11. Непрерывность отображения в точке.
- •12.Глобальные свойства непрерывных отображений.
- •13. Линейные отображения.
- •14. Дифференцируемые отображения.
- •15. Дифференциал и частные производные функции многих переменных.
- •16. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
- •18 Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
- •19.Производная по направлению. Градиент.
- •20. Частные производные высших порядков.
- •22. Теорема о среднем.
- •23.Формула Тейлора для функций многих переменных.
- •24. Необходимые условия экстремума.
- •25. Достаточные условия локального экстремума.
- •26. Неявные функции.
- •27. Обратное отображение.
- •28. Необходимые условия зависимости функций.
- •29. Достаточные условия зависимости функций.
- •31. Метод множителей Лагранжа.
- •32. Достаточный признак условного экстремума.
- •33. Абсолютный экстремум.
- •34. Понятие числового ряда и свойства сходящихся рядов.
- •35. Признаки сравнения сходимости числовых рядов.
- •36. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов.
- •37. Интегральный признак сходимости ряда.
- •38. Знакочередующиеся ряды.
- •39.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
- •40. Признак Абеля и Дирихле.
- •41. Перемножение абсолютно сходящихся числовых рядов.
- •42. Бесконечные произведения.
18 Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных.
19.Производная по направлению. Градиент.
Пусть
ф-ция f(x,y,z)
определена в окрестности точки (x0,y0,z0)
и пусть задан
.
Обозначим через
его направляющие косинусы
,
т.е определим координаты единичного
вектора
Проведем через точку (x0,y0,z0) луч в направлении вектора l и запишем его уравнение в параметрическом виде
Т.к.
получаем
что
t=расстоянию
от точки (x,y,z)
луча соответсвт. этому значению параметра
до точки (x0,y0,z0)
Рассмотрим
композицию ф-ции f(x,y,z)
и (1), т.е. f(
,
,
)
(2)
Правая
производная в точке t=0
называется производной f
в точке (x0,y0,z0)
по направлению вектора l
и обозначают
таким
образом
Если
M0(x0,y0,z0)
а точка M(x,y,z)
является точкой луча (1), а следовательно
длина вектора
,то
Т.к.
все величины стоящие в правой части
этого равенства не зависят от выбора
системы координат, то производная по
направлению в точке M0
от ф-ции f,
аргументом которой является точка
пространства, не зависит от выбора
системы координат. Т.к. ф-ции (1) линейны
относительно t,
а поэтому дифф-мы то если дифф-ма в точке
(x0,y0,z0),
то сложная ф-ция (2) дифф-ма в точке t=0,
В
этой формуле значения частных производных
взяты в точке (x0,y0,z0)
(
)
– вектор называется градиентом
ф-ции f
и обозначается grad
f
либо nabla(
)
т.е.
Тогда
формула для производной по направлению
можно записать в виде
φ-угол между
и вектором l0
Градиент
ф-ции не зависит от выбора системы
координат если
,то
направление
является
единственным направлением по которому
в данной точке производ. по направлению
имеет
наибольшее значение
Если =0 то в данной точке произв. ф-ции по всем направлениям равно 0
Понятие производной по направлению существует для ф-ции любого числа переменных
20. Частные производные высших порядков.
Пусть
функция f
:
X→
,
X С
n
имеет
частную производную
=
в области X.
Если существует частная производная
, то она называется второй частной
производной или частной производной
второго порядка функции f
по
переменным xi,
xk
и
обозначается
или
Частная
производная по некоторой переменной
от частной производной (т
—
1)-го
порядка называется частной производной
порядка m.
Частная
производная по различным переменным
называется смешанной частной производной.
Частная производная высшего порядка
по одной и той же переменной называется
чистой частной производной.
Теорема
7. Пусть
функция f
:
V(a,
δ)
→
,
V(a,
δ)
С
n
имеет в окрестности V(a,
δ)
точки a
частные производные
причем
они непрерывны в точке a.
Тогда справедливо равенство
.
Утверждение 3. Если f : X → , X С n имеет в области X непрерывные частные производные до порядка к включительно, то частная производная функции f к-го порядка не зависит от порядка дифференцирования.
21. Инвариантность формы первого дифференциала. (Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Касательная плоскость.)
Рассмотрим случай диф-ти композиции ф-ции 2-х переменных и ф-ции 1-ой переменной
Теорема
1. Если x=x(t)
и y=y(t)
дифф-мы в точке t0,
a
z=f(x,y)
дифф-ма в точке (x0,y0),
где
,
то сложная ф-ция
дифф.
в точке t0
и в этой
точке
Док-во.
В силу дифф-ти f(x,y)
в точке (x0,y0)
имеем
,
где
и частные производные берутся от точки
(x0,y0)
Выберем
теперь ∆x,
∆y
специальным образом задавая произвольно
∆t
положим
В
силу непрерывности ф-ции
получаем
.
Поэтому
=>
согласно теореме о пределе композиции ф-ции
Поделим
обе части равенства
на ∆t
Тогда в силу существования в точке
в
конечных производных :
,
выражения, стоящие в правой части
равенства будет иметь конечный lim.
т.е.
будет существовать производная
и для нее будет справедлива
формула (1)
Замечание
1. Если
x=x(u,v),
y=y(u,v)
дифф-мы в точке (u0,v0)
то они имеют частное производные в этой
точке.
a
ф-ция z=f(x,y)
диф-ма (х0,y0)
в где x0=x(u0,v0),
а y0=y(u0,v0),
то в точке (u0,v0)
сущестуют и частные производные
сложной функции z=f(x(u,v),
y(u,v))
причем
(2)
Формула (2) следует из формулы (1), т.к. зафиксировав одну из переменных v или u, получим что z=f(x(u,v), y(u,v)) будет ф-цией 1ого переменного и к ней применима теорема.
Замечание 2.
Формулы
(2) обобщ. на случай любого числа переменных.
Если y=y(x)
где x=(x1,x2,…,xn)
дифф-ма в
точке x(0)=
(x1(0),x2(0),…,xn(0))
а ф-ция xi=xi(t)
где t=(t1,t2,…,tm)
дифф. в
точке t(0)=
(t1(0),t2(0),…,tn(0))
и xi(0)=xi(t(0))то
сложная ф-ция y(x(t))
имеет в точке t(0)
частн.
произв. и
(3)
где j=1,2,…,m
Теорема
1. Если xi=xi(t),
t=
(t1,t2,…,tm)
имеет в точке t(0)=
(t1(0),t2(0),…,tm(0))
непрерывные частные производные, a
ф-ция y=f(x),
x=
(x1,x2,…,xn)
имеет непрерывную частную производную
в точке x(0)=
(x1(0),x2(0),…,xn(0)),
где xi(0)=xi(t(0))
имеет непрерывную частную производную,
то сложная ф-ция y=f(x(t))
дифф. в точке t(0)
и
Св-ва дифф-a выраженные формулой (1) наз. инвариантностью формы дифф-а, т.е. дифф-л записыв. одинаковым образом независимо от того, использованы ли в его записи дифф-ы зависимых и независимых переменных.