10. Предел по направлению. Повторные пределы.

Определение 4. Точка b G R^m называется пределом отображения f : X —> R^m, X € Rⁿ по множеству E € X в точке a, если > 0 > 0 : х € E, 0 < p_n(x,a) < =>

p_m(f (x),b) < . и обозначается lim f(x) = b.(x→a, x €E)

Определение 5. Пусть E = {x G Rⁿ| x = a + wt, |w|= 1, a,w € Rⁿ, t >=0}. Предел lim f(x) = lim f(a + wt),(x→a,x€X)(t→+0) если он существует, называется пределом отображения f по направлению вектора w.

Повторные пределы.

У функции многих переменных можно рассматривать предел, связанный с последовательным переходом к пределу по разным координатам, т.е. к пределу вида:

lim_{х i1→х i1}⁽⁰⁾ lim_{х i2→х i2}⁽⁰⁾ … lim_{х in→х in}⁽⁰⁾ , где i₁, i₂ ,…, i_n –нек-рая перестановка чисел 1,2,…,n , а ф-ция f определена в нек-ой Ů(x⁽⁰⁾).

Пример: u= f(x,у) Пусть ф-ция задана в нек-ой прямоуг. окр-сти т.М₀(x₀ , у₀ ) |x-x₀ |<d₁ |y- у₀ |<d₂ за исключением быть может самой т. М₀ . Пусть для каждого фиксированного у, где 0<|y- у₀ |< d₂ сущ-ет предел ф-ции u= f(x,у) одного переменного х в т-ке x₀ : lim_х→х0 f(x,у)=φ(у) у-фиксир. И пусть кроме того сущ-ет lim_у→у0φ(у)=b. В этом случае говорят, что сущ-ет повторный предел b для ф-ции u= f(x,у) в т-ке М₀ ,к-рый обозначают:

lim_у→у0 lim_х→х0 f(x,у)= b

Аналогично опред-ся повторный предел:

lim_х→х0 lim_у→у0f(x,у)= b

Рассмотрим достаточное условие равенства 2ух введённых повторных пределов.

Теорема. Пусть ф-ция u= f(x,у) определена в нек-ой прямоугольной окр-сти т. М₀(x₀ , у₀ ) : |x-x₀ |<d₁ , |y- у₀ |<d₂ и имеет в этой т-ке предел равный b. Кроме того, пусть для любого фиксированного х : 0<|x-x₀ |<d₁ сущ-ет предел ψ(х)= lim_у→у0f(x,у) и для любого фиксированного у: 0<|y- у₀ |< d₂ сущ-ет предел φ(у)=lim_х→х0 f(x,у) .

Тогда повторные пределы lim_х→х0 lim_у→у0f(x,у) и lim_у→у0 lim_х→х0 f(x,у) сущ-ют и оба равны b.

Док-во: т.к. функция u= f(x,у) имеет в т. М₀ предел=b то ε>0 , вып-ся нер-во . Т.о. в прямоуг. окрестн. т. М₀ , знач. ф-ии f(x,y) отлич. от числа b не более чем на ε. Тогда пределы ψ(x), φ(у) при x,y удовл. нер-вам , , так же отличаются от числа b не более чем на ε.

А значит, пределы ф-ии в точке, x₀ и y₀ сущ. и оба равны b.

11. Непрерывность отображения в точке.

Пусть a предельная точка множества X €Rⁿ.

Определение 6. Отображение f : X — R^m, X € Rⁿ называется непрерывным в точке a € X, если существует предел

lim f(x) = f(a). (x→a)

Определение 7. Отображение f : X — R^m, X € Rⁿ называется непрерывным в точке a € X, если

> 0 = ( ) > 0: x €V(a, ) → f (x) € U (f (a), )

Пусть a предельная точка множества E € X.

Определение 8. Отображение f : X — R^m, E€X€Rⁿ называется непрерывным в точке a € E по множеству E, если lim f(x) = f(a). (x→a, а€ Е)

Теорема 8. Если отображение f : X — R^m, X € Rⁿ непрерывно в точке a € X, то существует окрестность этой точки, в которой отображение f ограниченно.

Теорема 9. Пусть f : X — Y, X € Rⁿ, Y € R^m, g : Y — R^s, b = f (a), c = g(b). Если отображение f непрерывно в точке a € X, отображение g непрерывно в точке b € Y, то их композиция = g о f непрерывна в точке a.

Теорема 10. Если функция f : X → R, X € Rⁿ непрерывна в точке a € X и f (a) > 0 (f (a) < 0), то существует такая окрестность V(a), что если x € V(a), то f(x) > 0 (f(x) < 0).

Теорема 11. Если функции f : X → R, g : X →R, X € Rⁿ непрерывны в точке a € X, то f + g, f • g, а если g( x) ≠ 0, x € X, то и f/g определены на множестве X и непрерывны в точке a.

Если отображение f : X →R^m, X € Rⁿ непрерывно в каждой точке множества X, то говорят, что оно непрерывно на множестве X. Теоремы 9-11 задают локальные свойства непрерывных отображений.