2.10Простота знакопеременной группы

Обозначим через группу четных перестановок порядка n.

Лемма 2.1. Если нормальная подгруппа группы (n>2) содержит цикл из трех элементов, то она совпадает с .

Доказательство. Не нарушая общности можно считать, что нормальная подгруппа H содержит цикл (1-2-3). Тогда его квадрат (1-3-2) принадлежит H, а также элементы вида , где . Положим , тогда . При (1-2-k)(1-2-k)(1-2-m)=(1-k-m), следовательно, перестановки вида (1-k-m) принадлежат H. Для попарно не равных друг другу чисел k, m, r (1-k-r)(1-m-k)=(k-r-m), и, значит, все циклы длины 3 принадлежат H. Любая перестановка раскладывается в произведение транспозиций вида (i-i+1), причем в разложении четной перестановки число транспозиций – четное. Рассмотрим произведение двух транспозиций (i-i+1)(j-j+1). Если |i-j|=1, то это произведение – цикл длины 3, и, следовательно, принадлежит H. Если |i-j|>1, то (i-i+1)(j-j+1)=(i-j-j+1)(i-j-i+1) представляется в виде произведения двух циклов длины 3, и также принадлежит H. Таким образом, любая четная перестановка представляется в виде произведения сомножителей из H, и, значит, содержится в H.

Теорема 2.17. Группа четных перестановок при - простая.

Доказательство. Допустим в нашлась нормальная подгруппа H. Выберем в H перестановку , оставляющую неподвижным как можно большее количество элементов. Запишем перестановку в виде произведения независимых циклов, причем начнем с самого длинного. Рассмотрим случай, когда максимальный цикл имеет длину три и больше . Перестановка и, значит, . Поскольку , то . Рассмотрим случай, когда перестановка разбивается на независимые циклы длины два общим количеством больше двух. Количество циклов четное. Пусть . Так как и переставляет только 4 элемента, то этот случай противоречит выбору . Осталось рассмотреть единственный случай, когда . Пусть r отличен от i, j, k ,m. Перестановка , , и по лемме .

3Кольцо, подкольцо, идеал, факторкольцо.

3.1Кольцо

Алгебра K с двумя бинарными операциями + и * называется кольцом, если выполняются условия

1. Множество K относительно операции + является абелевой группой.

2. Множество K относительно операции * образует полугруппу.

3. Операции связаны законами дистрибутивности, т.е. (a+b)*c=a*c+b*c и a*(b+c)=a*b+a*c.

Нейтральный элемент относительно сложения в кольце называют нулем и обозначают 0.

Свойство 3.20. a*0=0*a=0

Доказательство. a*0=a*(0+0)=a*0+a*0, откуда a*0=0. Аналогично, 0*a=0.

Если операция умножения в кольце коммутативна, то кольцо называется коммутативным.

Если множество ненулевых элементов кольца образуют группу относительно операции умножения, то кольцо называется телом. Коммутативное тело называется полем.

Подмножество M называется подкольцом (подтелом, подполем), если относительно операций + и * M образует кольцо (тело, поле).

Свойство 3.21. Для того чтобы подмножество M являлось подкольцом необходимо и достаточно, чтобы для любых a и b их сумма a+b, произведение a*b, и обратный (по сложению) –a, лежали в M.

Для того чтобы M являлось подтелом (подполем) требуется, чтобы с каждым ненулевым элементом a в M содержится и a^-1.

3.2Примеры колец.

Имеется ряд стандартных конструкций колец на основе заданного кольца K.

3.2.1Кольцо матриц

Пусть K – кольцо. Обозначим через множество всех квадратных матриц порядка n с элементами из кольца K. На множестве матриц определим операцию сложения C=A+B, и операцию умножения U=AB, . Относительно введенных операций множество матриц образует кольцо.

3.2.2Кольцо многочленов

Обозначим через K(x) множество многочленов с коэффициентами из кольца K. На множестве этих многочленов можно определить операции сложения и умножения многочленов. Кольцо многочленов коммутативно если исходное кольцо коммутативно.

3.2.3Область целостности

Рассмотрим вопрос, когда кольцо K можно вложить в некоторое поле (т.е. оно изоморфно некоторому кольцу в поле). Ясно, что необходимым условием является коммутативность кольца.

Элементы a,b из K, отличные от нуля и произведение которых равно 0, называются делителями нуля. В не коммутативном кольце различают левый и правый делители нуля, а, именно, если ab=0, то a – левый делитель, а b – правый делитель нуля.

Свойство 3.22. Тело не содержит делителей нуля.

Доказательство. Действительно, из , вытекает .

Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.

Теорема 3.18. Конечное коммутативное кольцо K без делителей нуля является полем.

Доказательство. Пусть . Рассмотрим последовательность степеней элемента a. Число различных элементов последовательности конечно, и, значит, найдутся в ней одинаковые элементы, например, с номерами k и j ( , ). Но тогда, для любого b из K справедливо , и, следовательно (т.к. нет делителей нуля ), . Элемент является нейтральным относительно умножения. Если j-k>1, то - обратный элемент к a. Если j-k=1, то a является обратным сам к себе. Теорема доказана.

В общем случае, область целостности полем не является, например, кольцо целых чисел.