- •1Структура линейного преобразования.
- •1.1Аннулирующий многочлен вектора, пространства
- •1.2Расщепление пространства в прямую сумму инвариантных подпространств
- •1.3Корневые подпространства.
- •1.4Жорданова клетка. Циклический базис. Циклические пространства.
- •1.5Жорданов базис, существование и единственность.
- •1.6Построение Жорданова базиса.
- •2 Алгебра, полугруппы, группы
- •2.1Отношение, операция, алгебра.
- •2.2Полугруппа
- •2.3Группа, подгруппа
- •2.4Изоморфизм групп.
- •2.5Смежные классы, теорема Лагранжа
- •2.6Циклические группы.
- •Циклические группы одинаковых порядков изоморфны между собой.
- •Циклическая группа бесконечного порядка изоморфна группе целых чисел.
- •Любая подгруппа циклической группы циклическая.
- •2.7Нормальный делитель, факторгруппа.
- •2.8Гомоморфизм групп.
- •2.9Нормальный ряд
- •2.10Простота знакопеременной группы
- •3Кольцо, подкольцо, идеал, факторкольцо.
- •3.1Кольцо
- •3.2.4Поле частных
- •3.3Идеал, факторкольцо.
- •3.3.1Кольцо вычетов.
- •3.3.2Присоединение корня многочлена.
- •3.4Гомоморфизм колец.
- •4Характеристика поля. Конечные поля.
- •4.1Характеристика тела, поля.
- •4.2Простые расширения полей
- •4.3Конечные поля.
- •5Теория Галуа
- •6.1Кольцо матриц. Эквивалентность матриц.
- •Перестановка строк
- •Умножение строки на обратимый элемент кольца
- •Прибавление к строке строки , умноженной на элемент кольца .
- •6.2Кольцо многочленов с матричными коэффициентами.
6.2Кольцо многочленов с матричными коэффициентами.
Пусть P – поле, - кольцо многочленов с матричными коэффициентами. В силу не коммутативности кольца матриц возникают некоторые сложности с вычислением значения многочлена, делением многочленов. Соответственно определяется левое и правое значение многочлена (в зависимости с какой стороны записана переменная), а также левое и правое деление многочленов с остатком.
Теорема 6.34 (Обобщенная теорема Безу) Остаток деления многочлена на двучлен слева (справа) равен левому (правому) значению многочлена.
Доказательство. Нудновато
Теорема 6.35. Матрицы и эквивалентны тогда и только тогда, когда матрицы и подобны.
Доказательство. Пусть A и B подобны, то есть . Тогда , матрица U – унимодулярная.
Пусть матрицы и эквивалентны. Тогда найдутся унимодулярные матрицы и , что . Равенство запишем в виде . Поделим многочлен на справа, а на слева. Получим . Раскроем скобки, получим . Справа стоит многочлен степени не выше 1, значит . Тем самым установлено равенство или и . Для доказательства подобия осталось показать невырожденность матрицы . Поскольку , то поделив справа на имеем , и, значит, .