3.2.4Поле частных

Теорема 3.19. Область целостности можно вложить в поле частных.

Доказательство. Пусть K- область целостности. Положим . На множестве M введем бинарное отношение . Это отношение рефлексивно ( ), симметрично ( ) и транзитивно ( ), и, значит, является отношением эквивалентности. Множество M распадается на семейство не пересекающихся классов эквивалентности, которое обозначают . На множестве M определим операции сложения и умножения . Пусть принадлежит классу эквивалентности , , , , тогда (доказать самостоятельно). Таким образом, на множестве определены операции сложения и умножения. Легко убедиться, что эти операции удовлетворяют аксиомам поля. Поле называется полем частных. Подкольцо этого поля, состоящее из классов эквивалентности с представителями вида , изоморфно K. Теорема доказана.

Примером поля частных является поле рациональных чисел.

3.3Идеал, факторкольцо.

Подкольцо M кольца K называется левым идеалом, если для любого a из K и b из M произведение a*b принадлежит M. Подкольцо M кольца K называется правым идеалом, если для любого a из K и b из M произведение b*a принадлежит M. Подкольцо M кольца K называется двусторонним идеалом, если M является и правым и левым идеалом. Двусторонний идеал часто называют идеалом, опуская слово «двусторонний».

Роль идеалов в теории колец во многом аналогична роли нормальных делителей в теории групп.

Рассмотрим множество смежных классов кольца K относительно идеала M относительно операции +. Относительно операции сложения множество смежных классов образуют абелевую группу (факторгруппу). При перемножении смежных классов a+M и b+M получим множество элементов, которые содержатся в смежном классе a*b+M. Таким образом, на множестве смежных классов вводится операция умножения. Относительно операции умножения, множество всех смежных классов образует полугруппу. Легко проверить, что дистрибутивность выполняется. Следовательно, множество смежных классов, относительно введенных операций сложения и умножения, образует кольцо, которое называют факторкольцом и обозначают K/M.

3.3.1Кольцо вычетов.

В кольце целых чисел Z обозначим через (p) множество чисел кратных p. Легко проверить, что (p) образует идеал. Факторкольцо Z/(p) содержит p элементов вида {i+(p)}, где i=0,1,…,p-1. Смежный класс {i+(p)} для краткости обозначают i. Операции над классами эквивалентны обычным операциям сложения и умножения над остатками от деления на p (над вычетами). Поэтому, факторкольцо называют кольцом вычетов и обозначают .

Теорема 3.20. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда p – простое число.

Доказательство. Кольцо вычетов не содержит делителей нуля тогда и только тогда, когда p - простое число. Конечное коммутативное кольцо без делителей нуля является полем.

3.3.2Присоединение корня многочлена.

Пусть P произвольное поле, P(x) - кольцо многочленов с коэффициентами из P. В кольце многочленов P(x) рассмотрим множество (f(x)) всех многочленов, делящихся без остатка на f(x). Множество (f(x)) образует двусторонний идеал. Элементами факторкольца P(x)/(f(x)) являются смежные классы. Каждый смежный класс состоит из тех и только тех многочленов, которые имеют одинаковый остаток от деления на f(x). Естественно, каждому смежному классу поставить многочлен наименьшей степени, который является остатком от деления всех многочленов этого класса на f(x). Пусть степень f(x) равна n. Тогда элементами факторкольца являются многочлены степени не выше n-1 с коэффициентами из P. Операции сложения и умножения в этом кольце сводятся к аналогичным операциям с остатками от деления на f(x).

Теорема 3.21. Факторкольцо P(x)/(f(x)) является полем тогда и только тогда, когда многочлен f(x) неприводим над полем P.

Доказательство. Если f(x) приводимый многочлен, то фактор кольцо содержит делители нуля, и, следовательно, не является полем. Пусть f(x) неприводимый многочлен. Для любого не нулевого многочлена g(x) степени меньше n НОД(f(x),g(x))=1, и, значит, найдутся такие многочлены u(x) и v(x), что u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. Но тогда , то есть для любого не нулевого элемента существует обратный к нему.

Пусть f(x) – неприводимый многочлен над полем P. Факторкольцо P(x)/(f(x)) является полем, и содержит все элементы поля P (точнее содержит подполе изоморфное P). Смежный класс {x+(f(x))} является корнем многочлена f(x). Действительно, при подстановке в f(x) получим смежный класс (f(x))=0. Таким образом, факторкольцо P(x)/(f(x)) кроме элементов P содержит корень многочлена f(x), и может рассматриваться как расширения поля P.

Пусть теперь f(x) произвольный многочлен. Разложим f(x) на неприводимые многочлены. Если хотя бы один из них имеет степень больше либо равную 2, то можно расширить исходное поле. Процесс расширения можно продолжать до тех пор, пока многочлен f(x) не будет разлагаться на линейные множители. Следовательно, любое поле P можно расширить до поля, в котором многочлен f(x) разлагается на линейные множители.