- •Глава I. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
- •§1.2. Изоморфизм унитарных пространств.
- •§1.3. Линейные функции.
- •§1.4. Сопряжённые операторы.
- •§1.5. Нормальные операторы.
- •§1.6. Унитарные операторы.
- •§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.
- •§1.8. Кососимметрические операторы.
- •§1.9. Неотрицательные линейные операторы.
- •§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
- •Глава II. Квадратичные формы.
- •§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
- •§2.3. Закон инерции.
- •§2.4. Распадающиеся квадратичные формы.
- •§2.5. Положительно определенные формы.
- •§2.6. Пары форм.
- •Глава III. Жорданова нормальная форма матрицы.
- •§3.1. Матрицы, их эквивалентность.
- •§3.2. Унимодулярные -матрицы.
- •§3.3. Матричные многочлены.
- •§3.4. Связь подобия числовых матриц с
- •§ 3.5. Жорданова нормальная форма.
- •§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
- •§ 3.7. Минимальный многочлен.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства. 3
§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду, изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но не может считаться обобщением этой последней теории. В самом деле, в нашей теории допускается использование любых невырожденных линейных преобразований, в то время как приведение кривой второго порядка к каноническому виду достигается применением линейных преобразований весьма специального вида (2), являющихся вращениями плоскости. Эта геометрическая теория может быть, однако, обобщена на случай квадратичных форм от неизвестных с действительными коэффициентами, если потребовать, чтобы матрица преобразования была ортогональной. Такое преобразование называется ортогональным, а сама процедура приведением квадратичных форм к главным осям.
ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем смотреть на матрицу квадратичной формы как на матрицу некоторого линейного оператора в евклидовом пространстве. Если матрица квадратичной формы, то она симметрическая порядка . Если некоторый ортонормированный базис мерного евклидова пространства, то матрица задаёт в этом базисе симметрический оператор . По основной теореме о симметрических операторах в евклидовом пространстве в подходящем ортонормированном базисе его матрица будет диагональной. Пусть матрица перехода от к , тогда .
Но матрица , как матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, по теореме 2 §1.6 будет ортогональной, а значит, . Поэтому . А именно так преобразуется матрица квадратичной формы, подвергнутой линейному преобразованию неизвестных с матрицей .
Итак, преобразование неизвестных, имеющее матрицу ортогонально, а матрица , будучи диагональной, соответствует квадратичной форме канонического вида. □
Тот факт, что матрица линейного оператора в базисе, составленном из собственных векторов, имеет диагональный вид (с собственными значениями по главной диагонали) [2], даёт нам метод практического отыскания канонического вида квадратичной формы, а также самого этого ортогонального преобразования.
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
к каноническому виду и написать этот канонический вид.
Решение. Матрица этой формы имеет вид
,
Найдём её характеристический многочлен:
.
Таким образом, матрица имеет двукратный корень и простой корень . Следовательно, канонический вид данной квадратичной формы будет
.
Найдём ортогональное преобразование, осуществляющее это приведение. Для этого найдём собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям , т. е. решим системы линейных однородных уравнений для каждого .
При имеем
.
Откуда , т. е. имеются 2 независимые переменные, и фундаментальный набор решений будет:
Применив к ним процесс ортогонализации, получим:
При имеем
.
Данная система эквивалентна следующей:
,
решением которой будет
.
Остаётся нормировать систему :
Таким образом искомое преобразование имеет вид:
Для того чтобы найти матрицу преобразования , нужно выразить переменные через , т. е. найти матрицу, обратную матрице преобразования . А так как , то достаточно транспонировать матрицу преобразования . Окончательно имеем:
.