![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава I. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
- •§1.2. Изоморфизм унитарных пространств.
- •§1.3. Линейные функции.
- •§1.4. Сопряжённые операторы.
- •§1.5. Нормальные операторы.
- •§1.6. Унитарные операторы.
- •§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.
- •§1.8. Кососимметрические операторы.
- •§1.9. Неотрицательные линейные операторы.
- •§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
- •Глава II. Квадратичные формы.
- •§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
- •§2.3. Закон инерции.
- •§2.4. Распадающиеся квадратичные формы.
- •§2.5. Положительно определенные формы.
- •§2.6. Пары форм.
- •Глава III. Жорданова нормальная форма матрицы.
- •§3.1. Матрицы, их эквивалентность.
- •§3.2. Унимодулярные -матрицы.
- •§3.3. Матричные многочлены.
- •§3.4. Связь подобия числовых матриц с
- •§ 3.5. Жорданова нормальная форма.
- •§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
- •§ 3.7. Минимальный многочлен.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства. 3
§2.6. Пары форм.
Пусть
дана пара действительных квадратичных
форм от
неизвестных,
и
.
Существует
ли такое невырожденное линейное
преобразование неизвестных
,
которое
одновременно приводило бы обе эти формы
к каноническому виду?
В общем случае ответ будет отрицательным. Рассмотрим, например, пару форм
.
Пусть существует невырожденное линейное преобразование
приводящее
обе эти формы к каноническому виду. Для
того чтобы форма
могла быть приведена указанным
преобразованием к каноническому виду,
один из коэффициентов
должен быть равен нулю, иначе вошло бы
слагаемое
.
Меняя, если нужно, нумерацию неизвестных
,
можно положить, что
и поэтому
.
Мы получим теперь, однако, что
.
Так
как форма
также должна была перейти в канонический
вид, то
,
т. е.
,
что вместе с
противоречит
невырожденности указанного линейного
преобразования.
Ситуация
будет иной, если мы положим, что хотя
бы одна из наших форм, например
,
является
положительно определенной.
ТЕОРЕМА. Если и пара действительных квадратичных форм от неизвестных, причем вторая из них положительно определенная, то существует невырожденное линейное преобразование, одновременно приводящее форму к нормальному виду, а форму к каноническому виду.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Выполним сначала невырожденное линейное
преобразование неизвестных
,
,
приводящее положительно определенную форму к нормальному виду,
.
Форма перейдет при этом в некоторую форму от новых неизвестных,
.
Совершим
теперь ортогональное преобразование
неизвестных
,
,
приводящее форму к главным осям,
.
Это
преобразование переводит сумму квадратов
неизвестных
в сумму квадратов неизвестных
(что следует из формулы
).
В
результате мы получаем
,
.
т. е. линейное преобразование
является искомым. □
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II.
15. Записать матрицу квадратичной формы , если:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
16. Записать
квадратичную форму
в виде
по заданной матрице
,
если:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
17. Определить ранг квадратичной формы , если:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
18. Привести к каноническому виду квадратичную форму и найти выражение новых неизвестных через старые, если:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
19. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду (приведение к главным осям), и написать этот канонический вид, если:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
20. Исследовать на знакоопределённость каждую из данных квадратичных форм:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
21. Исследовать, при каких значениях является знакоопределённой каждая из данных квадратичных форм:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.