- •Глава I. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
- •§1.2. Изоморфизм унитарных пространств.
- •§1.3. Линейные функции.
- •§1.4. Сопряжённые операторы.
- •§1.5. Нормальные операторы.
- •§1.6. Унитарные операторы.
- •§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.
- •§1.8. Кососимметрические операторы.
- •§1.9. Неотрицательные линейные операторы.
- •§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
- •Глава II. Квадратичные формы.
- •§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
- •§2.3. Закон инерции.
- •§2.4. Распадающиеся квадратичные формы.
- •§2.5. Положительно определенные формы.
- •§2.6. Пары форм.
- •Глава III. Жорданова нормальная форма матрицы.
- •§3.1. Матрицы, их эквивалентность.
- •§3.2. Унимодулярные -матрицы.
- •§3.3. Матричные многочлены.
- •§3.4. Связь подобия числовых матриц с
- •§ 3.5. Жорданова нормальная форма.
- •§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
- •§ 3.7. Минимальный многочлен.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства. 3
§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.
Линейный оператор унитарного пространства называется эрмитовым (самосопряжённым), если
,
т. е. если линейный оператор совпадает со своим сопряжённым .
Если матрица в некотором ортонормированном базисе есть , то в матричной форме условие того, что оператор является эрмитовым, выглядит следующим образом: . Такие матрицы называются эрмитовыми.
В действительном случае имеем: , т. е. матрица совпадает со своей транспонированной. Такие матрицы называются симметрическими. Поэтому в евклидовых пространствах эрмитовы операторы называют симметрическими.
ТЕОРЕМА. (основная об эрмитовых операторах). Матрица эрмитова оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как эрмитов оператор является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, существует ортонормированный базис, в котором он задаётся диагональной матрицей. Докажем, что собственные значения действительны. Пусть , тогда
.
В силу того, что , имеем , а это возможно лишь в случае . □
§1.8. Кососимметрические операторы.
Линейный оператор унитарного пространства называется кососимметрическим, если или
.
Если эрмитов оператор, то кососимметрический. Действительно, . Обратно, если кососимметрический оператор, то , т. е. эрмитов оператор.
Если матрица в некотором ортонормированном базисе есть , то в матричной форме условие того, что оператор является кососимметрическим, выглядит следующим образом: . Такие матрицы называются кососимметрическими.
ТЕОРЕМА. (основная об кососимметрических операторах). В подходящем ортонормированном базисе матрица кососимметрического оператора будет диагональной, причём каждый диагональный элемент либо , либо чисто мнимое число.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как частный случай нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, достаточно показать, что собственные значения чисто мнимые числа (или 0).
Пусть , тогда
,
т. е. , поэтому, если , то . Откуда . □
§1.9. Неотрицательные линейные операторы.
Линейный оператор унитарного (или евклидова) пространства называется неотрицательным, если
и .
Если равенство выполняется лишь при условии , то такой оператор называется положительно определённым.
Отметим свойства неотрицательных линейных операторов.
Свойство 1. Линейная комбинация неотрицательных линейных операторов с действительными неотрицательными коэффициентами неотрицательна.
Действительно, . □
Свойство 2. Для любого линейного оператора оператор неотрицателен.
Действительно, . □
ЛЕММА. Все собственные значения неотрицательного линейного оператора действительны и неотрицательны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если , то , т. е. и . □
ТЕОРЕМА. (основная о неотрицательных операторах). Самосопряжённый линейный оператор тогда и только тогда является положительно определённым, когда все его собственные значения неотрицательны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В одну сторону доказательство следует из леммы. Обратно, пусть базис, составленный из собственных векторов самосопряжённого оператора , а соответствующие действительные собственные значения. Если и , то