§1.2. Изоморфизм унитарных пространств.
Два унитарных (или
евклидовых) пространства
и
называются изоморфными,
если между их элементами можно установить
взаимно однозначное соответствие
,
для которого
и
.
ТЕОРЕМА. (об изоморфизме унитарных пространств). Два унитарных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что если и изоморфны, то они являются изоморфными, как линейные пространства. Однако изоморфные линейные пространства имеют одинаковую размерность [1].
Обратно, пусть
размерности
и
равны, а
и
,
соответственно, их ортонормированные
базисы. Зададим отображение
следующим образом: если
,
то считаем
.
Это отображение взаимнооднозначно и сохраняет операции сложения и умножения на число. Значит, они изоморфны, как линейные пространства.
Покажем, что сохраняет скалярное произведение. Рассмотрим два произвольных вектора
,
.
Тогда
и
То есть . □
§1.3. Линейные функции.
Рассмотрим
произвольное линейное пространство
над полем
.
Отображение
называется линейной
функцией,
если
Нетрудно проверить,
что если
и
линейные
функции, то
и
,
такие что
и
,
так же являются линейными функциями.
Поэтому, множество всех линейных функций,
заданных в
образуют линейное пространство
относительно их сложения и умножения
числа на функцию.
ЛЕММА. (о существовании
и единственности линейной функции). Для
любого базиса
линейного пространства
и любого набора
существует единственная линейная
функция
,
такая, что
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
произвольный вектор из
.
Зададим отображение
следующим образом:
,
Очевидно, что
.
Проверим, что
линейная функция. Пусть
.
Тогда
.
Докажем единственность. Предположим, что существует другая линейная функция , удовлетворяющая условию леммы, т. е.
.
Тогда
.
□
Пусть
унитарное пространство. Положим по
определению
для любых
и фиксированного
.
Тогда имеет место
ТЕОРЕМА. Функция
является линейной и однозначно
определяется по
.
Обратно, для каждой линейной функции
существует элемент
,
такой что
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докажем линейность функции. Действительно
.
Пусть теперь
,
тогда
.
При
имеем
,
т. е.
.
Тем самым показано, что каждому
соответствует единственная линейная
функция
.
Наконец, пусть
произвольная линейная функция, заданная
в пространстве
.
Докажем, что существует элемент
,
такой, что
для любых
.
Пусть
ортонормированный базис пространства
.
По лемме, существует единственный набор
,
такой, что
.
Рассмотрим вектор
,
тогда
.
Для произвольного вектора
,
имеем
.
□
§1.4. Сопряжённые операторы.
Построим по каждому
линейному оператору
мерного
унитарного пространства
оператор
,
сопряжённый данному. Выберем в
вектор
и рассмотрим функцию
переменной
.
Эта функция является линейной.
Действительно
С другой стороны
,
где
по теореме из предыдущего параграфа
определяется однозначно по функции
,
т. е. по
и
.
Таким образом, при фиксированном
для каждого
имеется единственный вектор
.
Оператор
называется сопряжённым
к
,
т. е.
Покажем, что для
каждого
сопряжённый оператор
определяется однозначно. Предположим,
что существует оператор
,
такой что
,
тогда
.
Нетрудно убедиться в том, что сопряжённый оператор является линейным. Действительно
.
Значит
.
Отметим следующие свойства сопряжённого оператора:
;
;
;
.
Докажем первое свойство.
.
Другие свойства доказываются аналогично.
Если
квадратная матрица порядка
,
то матрица
,
полученная из
заменой всех её элементов на
комплексно-сопряжённые и последующим
её транспонированием, называется
сопряжено
транспонированной.
Т. е. если
,
то
.
ТЕОРЕМА. Если линейный оператор в ортонормированном базисе имеет матрицу , то сопряжённый оператор будет иметь в этом базисе сопряжено транспонированную матрицу.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть в унитарном пространстве
задан ортонормированный базис
,
а матрицы операторов
и
в этом базисе будут соответственно
,
т. е. для любых
;
.
Домножим первое
равенство справа на
,
получим
,
следовательно
.
□
Пример 1.
Линейный оператор
задан в евклидовом пространстве в базисе
из векторов
матрицей
.
Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.
Решение.
Координаты векторов
заданы в некотором ортонормированном
базисе
.
Матрица перехода от
к
будет
.
Значит,
,
где
матрица того же оператора в ортонормированном
базисе. Откуда
.
Находим
.
Тогда
.
Матрица сопряжённого оператора будет по предыдущей теореме сопряжено транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто транспонированной.
.
Возвращаемся к исходному базису
