- •Глава I. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства.
- •§1.2. Изоморфизм унитарных пространств.
- •§1.3. Линейные функции.
- •§1.4. Сопряжённые операторы.
- •§1.5. Нормальные операторы.
- •§1.6. Унитарные операторы.
- •§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.
- •§1.8. Кососимметрические операторы.
- •§1.9. Неотрицательные линейные операторы.
- •§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
- •Глава II. Квадратичные формы.
- •§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
- •§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям.
- •§2.3. Закон инерции.
- •§2.4. Распадающиеся квадратичные формы.
- •§2.5. Положительно определенные формы.
- •§2.6. Пары форм.
- •Глава III. Жорданова нормальная форма матрицы.
- •§3.1. Матрицы, их эквивалентность.
- •§3.2. Унимодулярные -матрицы.
- •§3.3. Матричные многочлены.
- •§3.4. Связь подобия числовых матриц с
- •§ 3.5. Жорданова нормальная форма.
- •§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
- •§ 3.7. Минимальный многочлен.
- •§1.1. Евклидовы и унитарные пространства. 3
§3.4. Связь подобия числовых матриц с
эквивалентностью их характеристических матриц.
Как известно [1], две квадратные матрицы порядка подобны тогда и только тогда, когда они задают один и тот же линейный оператор в разных базисах. Однако мы не можем пока ответить на вопрос, подобны ли данные числовые матрицы и (т. е. матрицы с элементами из основного поля ). Тем не менее, их характеристические матрицы и являются матрицами, и вопрос об эквивалентности этих матриц решается вполне эффективно. Ответ на вопрос о связи подобия числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц даёт следующая
ТЕОРЕМА. Матрицы и с элементами из поля тогда и только тогда подобны, когда их характеристические матрицы и эквивалентны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть матрицы и подобны, т. е. над полем существует такая невырожденная матрица , что
.
Тогда
.
Невырожденные числовые матрицы и являются, однако, унимодулярными матрицами. Матрица получена умножением матрицы слева и справа на унимодулярные матрицы, т. е. .
Обратно, пусть
.
Тогда существуют такие унимодулярные матрицы и , что
. (1)
Учитывая, что для унимодулярных матриц обратные матрицы существуют и являются матрицами, выведем из (1) равенства, которые будут использованы в дальнейшем для доказательства:
(2)
Так как матрица имеет по степень , причем старшим коэффициентом соответствующего матричного многочлена служит невырожденная матрица , то к матрицам и можно применить алгоритм деления с остатком. Значит, существуют такие матрицы и , причём, степень , если , равна по , что
. (3)
Аналогично
. (4)
Используя (3) и (4) и учитывая (1), получаем:
или, применяя (2),
Квадратная скобка, стоящая справа, равна в действительности нулю: в противном случае она, являясь матрицей, так как и и есть матрицы, имела бы по меньшей мере степень , а тогда степень фигурной скобки была бы не меньше и, следовательно, степень всей правой части была бы не меньше . Это, однако, невозможно, так как слева стоит матрица степени .
Таким образом,
,
откуда, приравнивая матричные коэффициенты при одинаковых степенях , получаем
, (5)
. (6)
Равенство (6) показывает, что числовая матрица не только отлична от нуля, но даже является невырожденной, причем
,
а тогда равенство (5) принимает вид
,
что и доказывает подобие матриц и . □
Пример 3. Являются ли следующие матрицы подобными
, ?
Решение. Их характеристические матрицы эквивалентны, так как приводятся к одному и тому же каноническому виду
,
поэтому матрицы и подобны.