Задача № 9.

По трубе диаметром d = 35 мм протекает вода со ско­ростью ω = 6 м/с. Температура внутренней поверхности трубы под­держивается t_c = 40°С, и движущаяся по трубе вода нагревается от температуры на входе t_ж1=14°С до t_ж1=22°С.

Определить коэффициент теплоотдачи от стенки к воде и длину трубы.

Решение:

Определяем режим движения воды:

t_ж = 0,5(t_ж1 + t_ж2) = 0,5(14+22) = 18°С; при t_ж = 18°С для воды ν_ж = 1,2∙10^-6 м²/с и

Rе_ж = (6∙35∙10^-3)/(1,2∙10^-6) =1,75∙10⁵ >10⁵

Режим турбулентный; для расчета коэффициента теплоотдачи используем формулу:

ζ ∙ Rе_ж ∙ Рr_ж

Nu_ж = 8 ∙ (μ _ж / μ_c)ⁿ

12,7 ∙ √ζ /8 ∙ (Рr_ж ^2/3 — 1) + 1,07

При t_ж = 18°С Рr_ж = 7,0; μ_ж = 1004∙10^-6 Па∙с; λ _ж = 0,590 Вт/(м∙°С);

ρ_ж = 998 кг/м³; с_рж = 4183 Дж/(кг∙°С).

При t_c = 40°С μ_с = 653∙10^-6 Па∙с.

ζ = (1,82 lg Rе_ж—1,64)^-2 = [1,82 1g(1,75∙10⁵)—1,64]^-2 = 0,0160;

где при нагревании n=0,11; следовательно,

0,0160 ∙ 1,75∙10⁵ ∙ 7,0

Nu_ж = 8 ∙ (1004 / 653)^0,11 = 1380

12,7 ∙ (0,0160/8)^0,5 ∙ (7,0 ^2/3 — 1) + 1,07

стр. 15

и коэффициент теплоотдачи

α = Nu _ж∙ (λ _ж / d) = 1380∙ (0,590 / 35∙10^-3 ) = 23263 Вт/(м² ∙°С).

Длину трубы определяем из уравнения теплового баланса

Q = α(t_c— t_ж)πdl = G c_{р ж} (t_ж2 — t_ж1)

Расход воды и количество тепла, воспринимаемое водой,

G = ρ_ж∙ ω (πd² / 4) = 998∙6∙ (3,14∙ (35∙10^-3)² / 4)= 6,0 кг/с.

Q = G c_{р ж} (t_ж2 — t_ж1) = 6,0 ∙ 4183 ∙ 8 = 201 кВт.

Тогда

l = Q / (α(t_c— t_ж)πd) = 2,01∙10⁵ / (2,32∙10⁴ ∙(40 — 18) ∙3,14∙35∙10^-3) = 3,58 м.

Ответ: α =23263 Вт/(м²∙°С); l = 3,58 м.

Задача № 10.

Вода с температурой t_ж1 = 25°С поступает в трубу диаметром d = 10 мм и длиной l =2,0 м.

Определить температуру воды на выходе из трубы, если изве­стно, что расход воды G = 0,080 кг/с и температура внутренней по­верхности трубы t_c = 50°С.

Решение:

Для расчета теплоотдачи необходимо знать среднюю по длине трубы температуру жидкости. Так как температура воды на выходе из трубы неизвестна, то задачу решаем методом последовательных приближений.

Задаемся температурой воды на выходе из трубы t_ж2=35°С.

Тогда t_ж =0,5(t_ж1 + t_ж2) = 0,5(25+35) =30°С.

При этой температуре μ_ж = 8,15∙10^-4 Па∙с;

Re_ж = 4G / (πd μ_ж) = (4∙8,0∙10^-2) / (3,14∙1,0∙10^-2∙8,15∙10^-4) = 12504 > 10⁴

Режим движения воды турбулентный.

При t_ж = 30°С λ_ж=0,618 Вт/(м²∙°С); Рr_ж=5,42;

при t_c = 50°С Рr_с=3,54.

Подставив найденные значения величин в нижеследующую формулу, най­дем значения числа Nu _ж и коэффициента теплоотдачи:

Nu _ж = 0,021Re^0,8_жPr^0,43_ж(Pr_ж/Pr_c)^0,25 = 0,021∙(1,25∙10⁴)^0,8∙(5,42)^0,43 ∙(4,85/3,54)^0,25 = 89

α = Nu _ж (λ_ж /d) =89∙(0,618/1,0∙10^-2) = 5500 Вт/(м²∙ °С).

стр. 16

Температуру воды на выходе находим из уравнения теплового баланса:

αΔt_лλdl = Gc_{p ж}(t_ж2— t_ж1) учитывая, что Δt_л = t_ж2 – t_ж1 ,

2,3 lg((t_c – t_ж1) / (t_c – t_ж2))

получаем:

lg(t_c – t_ж2) = lg(t_c – t_ж1) – α π d l ;

2,3 Gc_{p ж}

lg(60– t_ж2) = lg(60–25) – 5500∙3,14∙1,0∙10^-2∙2,0 ,

2,3∙0,080∙4174

откуда t_ж2 = 44,7°С.

В качестве второго приближения задаемся t_ж2 = 45°С. Тогда

t_ж2=35°С; μ_ж = 7,28∙10 ^-4 Па∙с; λ_ж = 0,626 Вт/(м∙°С); Рr_ж=4,85; Rе_ж = 12100;

Nu_ж = 86 и α = 4490 Вт/(м²∙°С).

Температура воды на выходе (второе приближение)

lg(60– t_ж2) = lg(60–30) – 4490∙3,14∙1,0∙10^-2∙2,0 , t_ж2 = 45°С.

2,3∙0,080∙4174

Ответ: t_ж2 = 45°С.

Задача № 11.

По трубе внутренним диаметром d = 44 мм движется воз­дух с высокой скоростью. Расход воздуха G = 0,25 кг/с.

Термодинамическая температура воздуха на входе в трубу t₁=1100°С. Температура стенки трубы t_c = 300°С. Давление воздуха на входе p₁ = 700 мм рт. ст. и на выходе р₂ = 500 мм рт. ст.

Какой длины должна быть труба, для того чтобы термодина­мическая температура на выходе t₂ равнялась 700°С ? Определить также значения числа Маха на входе в трубу и на выходе из нее.

Решение:

Давление воздуха на входе и выходе из трубы

p₁ = 700∙13,6∙9,81 = 93391 Па;

р₂ = 500∙13,6∙9,81 = 66708 Па.

Плотность воздуха на входе в трубу

ρ₁ = p₁ / RT₁ = 93391 / 287,4(1100 + 273) = 0,237кг/м³

на выходе

ρ₂ = p₂ / RT₂ = 66708 / 287,4(700 + 273) = 0,238кг/м³

где для воздуха R = 287,4 Дж/(кг∙°С).

стр. 17

Скорость воздуха на входе

ω₁ = 4G = 4∙0,25 = 707 м/с,

ρ₁πd² 0,237∙3,14(4,4∙10^-2)²

на выходе

ω₂ = ω₁∙ (ρ₁ / ρ₂) = 707 ∙ (0,237/0,238) = 704 м/с.

Скорость звука и значения числа Маха:

α₁ = √kRT₁ = 20,1√T₁ = 20,1√1373 = 745 м/с.

M₁= ω₁/ α₁ = 707 / 745 = 0,95;

α₂ = 20,1√T₂ = 20,1√973 = 627 м/с.

M₂= ω₂/ α₂ = 704 / 627 = 1,12;

Температура торможения

υ₁= T₁ + (ω₁² / 2c_p1) = 1373 + (707² / 2∙1197) = 1373 + 209 = 1582 K,

где при t₁=1100°С с _p1=1,197 кДж/(кг∙°С)

υ₂= T₂ + (ω₂² / 2c_p2) = 973 + (704² / 2∙1135) = 973 + 218 = 1191 K,

где при t₂ =700°С с_р2=1,135 кДж/(кг∙°С).

Среднелогарифмическая разность температур торможения

Δυ_л = υ₁ – υ₂ = 1582 – 1191 = 746°С

2,3 lg υ₁ – T_c 2,3lg 1582–623

υ₂ – T_c 1191–623

Среднеарифметическая температура воздуха

Т=0,5(Т₁ + Т₂) = 0,5 (1373+973) = 1173 К

или t = 1173—273 = 900 °С.

Коэффициент теплоотдачи в рассматриваемых условиях может быть приближенно рассчитан по формуле Nu = Nu_ж(1,27– 0,27Θ), где в качестве определяющей температуры принимается t, а коэффициент теплоот­дачи отнесен к разности температур Δυ_л. При t=900°С λ_ж = 7,63∙10^-2 Вт/(м∙°С); μ_ж = 46,7∙10^-6 Па∙с; c _{p ж} =1,172 кДж/(кг∙°С); Рr_ж = 0,717.

Re _ж = 4G / (πd μ_ж) = (4∙0,25) / (3,14∙4,4∙10^-2∙46,7∙10^-6) = 1,5 ∙ 10⁵

Предполагая, что отношение l/d > 50, найдем:

Nu _ж = 0,021Re^0,8_жPr^0,43_ж = 0,021∙(1,5∙10⁵)^0,8∙(0,717)^0,43 = 251.

Поправка на температурный фактор по нижеследующей формуле при охлаждении газа:

Nu = Nu_ж( 1,27— 0,27Θ), где Θ = T_c / T = 623 / 1173 = 0,5

Таким образом,

Nu = 251 (1,27— 0,27 ∙ 0,5) = 285; стр. 18

α = Nu(λ_ж / d) = 285(7,63∙10^-2 / 4,4∙10^-2 ) = 494 Вт/(м² ∙°С);

Плотность теплового потока

q = α Δυ_л = 494 ∙ 746 = 3,68∙10⁵ Вт/м².

Количество передаваемого тепла

Q = G c_{p ж} (υ₁— υ ₂) = 0,25∙1172(1582—1191) = 1,14∙10⁵ Вт.

Поверхность теплообмена

F = Q / q = (1,14∙10⁵) / (3,68∙10⁵) = 0,309 м².

Искомая длина трубы

l = F / πd = 0,309 / (3,14 ∙ 4,4∙10^-2) = 2,2 м.

Ответ: l = 2,2 м; М₁ = 0,95; М₂ = 1,12.

Задача № 12.

Паропровод наружным диаметром d=150 мм расположен в большом помещении с температурой воздуха t_ж=29°С. Темпера­тура поверхности паропровода t_c1 = 390°С. Определить тепловые потери с единицы длины паропровода за счет излучения и кон­векции.

Степень черноты поверхности паропровода ε = 0,8. Температуру стен помещения можно принять равной температуре воздуха, т. е. t_c2 = 28°С.

Найти также соответствующие величины потерь при температуре паропровода 190 °С.

Решение:

Тепловые потери излучением

q_l^изл. = εС₀πd [(T_c1 / 100)⁴ — (T_c2 / 100)⁴]

При t_c1 = 390°С

q_l^изл. = 0,8∙5,67∙3,14∙0,15 (6,73⁴ — 3,03⁴) = 5,5∙10³ Вт/м.

При t_c1 = 190 °С

q_l^изл. = 2,85(4,73⁴ — 3,03⁴) = 1,185∙10³ Вт/м.

Для определения коэффициента теплоотдачи конвекцией восполь­зуемся формулой Nu_ж = 0,50(GrPr) _ж^1/4 для случая горизонтальной трубы.

стр. 19

В первом случае (GrPr) _ж = gβ_ж Δtd³ Pr _ж = 9,81 ∙ 370∙ 8∙10^-3 = 2,62 ∙ 10⁸

υ_ж² 303∙2,56 ∙ 10^-10

Во втором случае

(GrPr) _ж = 2,62∙ 10⁸(120 /360) = 0,9∙ 10⁸

Числа Нуссельта и коэффициенты теплоотдачи

Nu_ж = 0,50(2,62∙ 10⁸) ^1/4 = 63,5

Nu_ж2 = 0,50(0,9∙ 10⁸) ^1/4 = 49

α₁ = Nu_ж1 (λ_ж / d) = 63,5(2,59 ∙ 10^-2 / 1,15) = 10,9 Вт /(м²∙°С)

α₂ = 8,46 Вт /(м²∙°С)

Тепловые потери конвекцией: при t_c1 = 390°С

q_l^конв. = α₁π (t_c—t_ж) = 10,9∙3,14∙0,15∙360 = 1848 Вт/м;

при t_c1 = 190°С

q_l^конв. = 8,46∙3,14∙0,15∙120 = 478 Вт/м;

Ответ:

При t_c1 = 390°С q_l^изл. = 5500 Вт/м q_l^конв. = 1848 Вт/м q_l^изл. / q_l^конв. = 2,98;

При t_c1 = 190°С q_l^изл. = 1185 Вт/м q_l^конв. = 978 Вт/м q_l^изл. / q_l^конв. = 2,4.