Задача № 5.

В паровых компрессорных холодильных установках заме­на расширительного цилиндра дроссельным вентилем приводит к снижению холодопроизводительности. Частично эта потеря может быть уменьшена путем переохлаждения жидкости до температуры меньшей, чем температура конденсации (рис. 2). Как показано на рисунке, кон­денсат переохлаждается до темпера­туры t'₄, которая ниже, чем темпера­тура конденсации t₄. стр. 8

Определить холодильный коэффи­циент цикла, по которому работает холодильная машина на фреоне-12, и теоретическую мощность двигателя компрессора, если известно: холодопроизводительность установки Q_o = 500 МДж/ч; начальное состояние фреона определено параметрами t₁ = −14°С и x₁ = 1; температура кон­денсации t₃ = 28°С; температура перед дроссельным вентилем t'₄ = 23°С.

Рис. 2. к задаче 5.

Решение:

Начальная энтальпия сухого насыщенного пара фреона-12 при температуре насыщения t₁ = −14 °С равна:

h₁ = h"₁ = 566,89 кДж/кг (по табл. Свойства насыщенных паров фреона-12).

Изоэнтропный процесс сжатия фреона в компрессоре изобра­жается линией 1-2, причем энтальпия точки 2 по таблицам перегре­того пара при давлении р₂ = 0,705 МПа, соответствующая температу­ре насыщения фреона t₃ = 28°С и энтропии s₂ = s"₁ = 4,760 кДж/кг, равна: h₂ = 585,69 кДж/кг. Процесс конденсации изображается линией 3-4, изобарный процесс переохлаждения — линией 4-4', процесс дрос­селирования условно показывается линией 4'-5.

Принимая, что энтальпия переохлажденной жидкости равна энтальпии насыщенной жидкости при температуре t₄' = 23°С, из таб­лиц находим

h'₄ = h₅ = 440,83 кДж/кг.

Определяем удельную холодопроизводительность:

q_o = h₁ − h₅ = 566,89 − 440,83 = 126,06 кДж/кг.

Часовой расход фреона-12

m = Q_o / q_o = 500 000 / 126,06 ⁼ 3966 кг/ч.

Теоретическая величина работы цикла

l = h₂ – h₁ = 585,69 – 566,89 = 18,8 кДж/кг.

Теоретическая мощность приводного двигателя компрессора

N_o = ml / 3600 = (3966 ∙ 18,8) / 3600 = 20,7 кВт.

Холодильный коэффициент

ε = q_o / l = 126,06 / 18,8 = 6,7. стр. 9

Задача № 6.

По трубам вертикального теплообменника снизу вверх течет вода. Внутренний диаметр труб d =14 мм; их длина l=1,1 м. Расход воды через одну трубу G = 56 кг/ч. Температура воды на входе в теплообменник t_ж1 = 40°С.

Определить количество тепла, передаваемого от стенки одной трубы к воде, и температуру воды на выходе, если температура стенок труб поддерживается равной 70 °С.

Решение:

Секундный расход воды: G=56/3600=1,55∙10^-2 кг/с

При t_ж1 = 40°С μ_ж1 = 653∙10^-6 Па∙с

и Re_ж1 = 4G / (πd μ_ж1) = (4 ∙ 1,55 ∙ 10^-2) / (3,14∙14∙10^-3∙653∙10^-6) = 2159 < 2300.

Режим течения ламинарный.

Далее необходимо вычислить произведение (GrPr)_г. Так как нам неизвестно значение температуры воды на выходе, t_ж2 и, следовательно, нельзя найти её среднюю температуру, t_ж, то задачу решаем методом последовательных приближений.

Задаемся t_ж2 = 60°С.

Тогда

t_ж = 0,5(t_ж1+ t_ж2) = 0,5(40+60) =50°С и t_г = 0,5(t_с+ t_ж) = 0,5(70+50) = 60°С.

При этой температуре

β_г = 5,11 ∙ 10^-4 К^-1; ν_г = 0,478 ∙ 10^-6 м²/с; Рr_г = 2,98;

(GrPr)_г=g β_г ∙(t_c - t_ж) d³ ∙ Рr_г = 9,81∙5,11∙ 10^-4 ∙(70 – 50) ∙(14∙10^-3)³ ∙2,98 = 1,09∙10⁷>8∙10⁵

ν_г² (0,478∙10^-6)²

Режим течения вязкостно-гравитационный.

При вязкостно-гравитационном режиме течения в вертикальных трубах и совпадении направлений вынужденной и свободной кон­векции у стенки (охлаждение жидкости и течение сверху вниз или нагревание и течение снизу вверх) для расчета средней теплоотдачи можно воспользоваться следующей формулой:

Nu_c = 0,35(Pe_г(d/l)^0,3) [(GrPr) _г∙(d/l)]^0,18

где коэффициент теплоотдачи отнесен к начальной разности темпе­ратур t_с - t_ж;

стр.10

Индексы «с» и «г» означают, что соответствующие физические свойства выбираются по тампературе стенки t_с и t_г=0,5 (t_с + t_ж ).

Формула Nu_c = 0,35(Pe_г(d/l)^0,3) [(GrPr)_г∙(d/l)]^0,18 справедлива при Re_ж < 2300;

(Pe_г(d/l))_ас ≤ Pe_г(d/l) ≤ 110; 20 ≤ l/d ≤ 130; 8∙10⁵ ≤ (GrPr)_г ≤ 4∙10⁸

Здесь асимптотическое значение числа Пекле:

(Pe_г(d/l))_ас ≈ 1,5(GrPr(d/l))_г^0,25

В рассматриваемом случае:

при t_г = 60°С; а_г=1,6∙10^-7 м²/с; при t_с = 70°С; λ_с = 0,668 Вт/(м∙°С); при t_ж = 50°С ρ_ж = 988 кг/м³.

Средняя скорость течения воды

ω = 4G / (πd² ρ_ж) = 4 ∙ 1,55∙ 10^-2 / (3,14 ∙(14∙ 10^-2)² ∙ 988) = 0,101 м/с

Pe_г ∙ d = ωd ∙ d = ( 0,101∙14∙ 10^-3) ∙ 14∙10^-3 = 112

l а_г l 1,6 ∙ 10^-7 1,1

(GrPr) _г ∙ d = 1,09∙10⁷∙ 14∙10^-3 = 1,39∙10⁵

l 1,1

(Pe_г(d/l))_ас ≈ 1,5(1,39∙10⁵)^0,25 = 29,17

Так как все критерии находятся в указанных выше пределах, то формула

Nu_c = 0,35(Pe_г(d/l)^0,3) [(GrPr) _г∙(d/l)]^0,18 применима.

Число Nu_c

Nu_c = 0,35(112)^0,3(1,39∙10⁵)^0,18 = 12,15.

Коэффициент теплоотдачи

α = Nu_c ∙ λ_c = 12,15 ∙ 0,668 = 579 Вт/(м² ∙ °С).

d 14∙10^-3

Количество передаваемого тепла

Q = α (t_с—t_ж)πdl = 579(70—50)π14∙10^-3 ∙ 1,1 = 559 Вт.

Проверка принятого значения температуры воды на выходе из трубы:

t_ж2 = t_ж1 + (Q/Gc_pж) = 40 +(559/(1,55∙10^-2 ∙4174)) = 40 + 8,64 = 48,64°С

где теплоемкость воды выбрана при t_ж = 50°С; с_рж = 4174 Дж/(кг∙°С).

Таким образом, в результате первого приближения t_ж2 = 48,64°С.

Задавшись для второго приближения t_ж2 = 50°С, получим t_ж = 0,5(t_ж1 + t_ж2)=45°С

и t_г=0,5(t_с+ t_ж)=57,5°С. Совпадение достаточно хорошее и дальнейших пересчетов делать не нужно.

Ответ: Q = 559 Вт; t_ж2 ≈ 49°С. стр. 11

Задача № 7.

В вертикальном водоподогревателе вода, имеющая темпе­ратуру на входе t_ж1=0°С, течет снизу вверх по трубам диаметром d = 30 мм. Температура стенок труб поддерживается равной t_c=130°С. Какой длины должны быть трубы подогревателя, чтобы при расходе воды через одну трубу G = 80 кг/ч температура воды на выходе была t_ж2 = 50°С.

Решение:

Число Рейнольдса:

при t_ж = 0,5(t_ж1+ t_ж2)=0,5(0+50) =25° С, μ_ж = 1004∙10^-6 Па∙с;

секундный расход воды G =80/3600 = 0,022 кг/с;

Re _ж = 4G / (πd² μ_ж) = (4∙0,022) / (3,14∙30∙10^-3 ∙1004∙10^-6) = 930 < 2300

Течение ламинарное.

При t_г=0,5(t_с + t_ж) = 0,5(130+25) =78°С; β_г = 6,32∙10^-4 К^-1; ν_г = 0,365∙10^-6 м²/с; a_г=1,66∙10^-7 м²/с; Рr_г=2,21.

(GrPr)_г=g β_г ∙(t_c - t_ж) d³ ∙ Рr_г = 9,81∙6,32∙10^-4 ∙105 ∙(30 ∙ 10^-3)³ ∙2,21 = 2,9∙10⁸ > 8∙10⁵

ν_г² (0,365∙10^-6)²

Режим движения вязкостно-гравитационный, и для случая совпадения вынужденной и свободной конвекции у стенки расчет теплоотдачи проводим по формуле:

Nu_c = 0,35(Pe_г(d/l)^0,3) [(GrPr) _г∙(d/l)]^0,18

В этом уравнении два неизвестных: α и l.

В качестве второго уравнения используем уравнение теплового баланса

Q = Gc_pж(t_ж2 — t_ж1)=α (t_с—t_ж1)πdl

Подставив известные величины в уравнение для теплоотдачи, получим:

при t_ж =25°С; ρ_ж = 995 кг/м³; c_pж = 4174 Дж/(кг∙°С);

при t_c = 130°С: λ_с =0,686 Вт/(м∙°С);

Pe_г = ωd / a_г = 4G / πdρ_ж a_г = (4∙0,022) / (3,14∙30∙10^-3∙995∙1,66∙10^-7) = 5656;

α =λ_с∙0,35(Pe_г)^0,3∙(GrPr)_г^0,18d^-0,52l^-0,48=0,686∙0,35(5656)^0,3∙(2,9∙10⁸)^0,18∙(30∙10^-3) ^-0,52l^-0,48=

=662l^-0,48 (a)

Подставив известные величины в уравнение теплового баланса, получим:

α = Gc_pж(t_ж2 — t_ж1) = 0,022 ∙ 4174 ∙ (50 – 0) = 375

πd(t_с—t_ж1)l 3,14∙30∙10^-3∙(130-0) l l (б) стр. 12

Решая совместно (а) и (б), находим:

l ^0,52 = 375/662 = 0,566;

откуда

l = 0,74 м.

Проверяем применимость формулы Nu_c = 0,35(Pe_г(d/l)^0,3) [(GrPr) _г∙(d/l)]^0,18 :

l/d = 0,74 / (30∙10^-3) = 25;

Pe_г(d/l) = 5656(1 / 25) = 226;

(Pe_г(d/l))_ас ≈ 1,5[(GrPr)_г ∙ (d/l)]^0,25 = 1,5∙ ((2,9∙10⁸∙ (1 / 25))^0,25 = 87,5

Так как

20 ≤ l/d ≤ 130 и (Pe_г(d/l))_ас < Pe_г(d/l) < 1100

то формула, по которой проведен расчет, применима.

Ответ: l = 0,74 м.

Задача № 8.

Определить коэффициент теплоотдачи от стенки трубки конденсатора паротурбинной установки к охлаждающей воде, если средняя по длине температура стенки t_c=26°С, внутренний диаметр трубки d=14 мм, температуры воды на входе и выходе из трубки равны соответственно t_ж1 = 8°С и t_ж2 = 15°С и средняя скорость воды ω = 1,5 м/с.

Определить также количество передаваемого тепла и длину трубки.

Решение:

Так как заданы температуры t_ж1 и t_ж2, то число Rе можно определить по среднеарифметической температуре жидкости:

t_ж=0,5(t_ж1+ t_ж2) = 0,5(8+15)=11,5°С

При этой температуре ν_ж = 1,30∙10^-6 м²/с и

Re_ж = ωd = 1,5 ∙ 14 ∙ 10^-3 = 1,6 ∙ 10⁴ > 1∙10⁴

ν_ж 1,30 ∙ 10^-6

Режим движения турбулентный.

Расчет теплоотдачи при турбулентном режиме течения в трубах и каналах несжимаемой жидкости с числами Рr>0,7 можно произ­водить по следующей формуле:

Nu_ж = 0,021Re^0,8_жPr^0,43_ж(Pr_ж/Pr_c)^0,25 ∙ε_l, где индексы «ж» и «с» означают, что физические свойства жидкости выбираются соответственно по среднеарифметической температуре t_ж и по температуре стенки t_с;

стр. 13

α = q / Δt_л; Δt_л = t_ж2 - t_ж1 ;

ln((t_c - t_ж1) / (t_c - t_ж2))

ε_l — поправка на начальный участок. При l/d >50 ε_l =1. Значения ε_l приведены в следующей таблице:

При значениях Rе_ж >1∙10⁵ или Рr_ж >5 более точные результаты дает формула:

ζ ∙ Rе_ж ∙ Рr_ж

Nu_ж = 8 ∙ (μ _ж / μ_c)ⁿ

12,7 ∙ √ζ /8 ∙ (Рr_ж ^2/3 — 1) + 1,07

где ζ = (1,82 lg Rе_ж—1,64)^-2 — коэффициент сопротивления трения при изотерми-ческом турбулентном течении жидкости в гладких тру­бах. При нагревании жидкости n = 0,11, при охлаждении жидкости n = 0,25.

Расчет для данной задачи проводим по формуле:

Nu_ж = 0,021Re^0,8_жPr^0,43_ж(Pr_ж/Pr_c)^0,25 ∙ε_l,

При t_ж = 11,5°С для воды Рr_ж = 9,5; λ_ж = 0,574 Вт/(м∙°С); ρ _ж = 999 кг/м³;

c_{р ж} = 4,189 кДж/(кг∙°С).

При t_c = 26°С Рr_c = 5,5.

Так как длина трубы неизвестна, то для первого приближения поправку на начальный участок принимаем ε_l = 1.

Подставим значения известных величин в формулу:

Nu_ж = 0,021Re^0,8_жPr^0,43_ж(Pr_ж/Pr_c)^0,25 ∙ε _l = 0,021(1,6∙10⁴)^0,8 ∙(9,5)^0,43 ∙(9,5/5,5)^0,25 = 146.

Коэффициент теплоотдачи:

α = Nu_ж (λ_ж / d) = 146(0,574 / 14 ∙ 10^-3) = 5986 Вт/(м² ∙°С).

Расход воды через трубку

G = ωρ_ж(πd² / 4) = 1,5∙999 ∙ (3,14∙(14∙10^-3)² / 4) = 0,230 кг/с.

Количество передаваемого тепла

Q = G c_{р ж} (t_ж2 — t_ж1) =0,230 ∙ 4,189 ∙ (15— 8) = 6,7 кВт.

Длина трубы l = Q / αΔt_лπd), где среднелогарифмический температурный напор:

Δt_л = t_ж2 - t_ж1 = 15 - 8 = 14,9°С

ln((t_c - t_ж1) / (t_c - t_ж2)) 2,3lg((26-8) / (26-15)) стр. 14

и l = 6700 / (5986 ∙ 14,9 ∙ 3,14 ∙ 14 ∙ 10^-3) = 1,7 м

При расчете было принято ε_l = 1. В результате расчета получе­но l = 1,7м, следовательно,

l / d = 1,7 /14∙ 10^-3 = 122

Так как l / d = 122 > 50, тo ε_l = 1 и уточнять расчет не нужно.

Ответ: α = 5986 Вт/(м²∙ °С); Q = 6,7 кВт; l = 1,7 м.