Методика розв’язання задачі

1. Знаходимо рівняння траєкторії руху точки, виключаючи час з рівнянь руху, будуємо її та знаходимо положення точки у заданий момент часу.

2. Визначаємо компоненти швидкості

, , .

та знаходимо її модуль

.

3. Визначаємо компоненти прискорення

, ,

та знаходимо його модуль

.

4. Знаходимо алгебраїчне значення тангенціального прискорення

.

5. Знаходимо модуль нормального прискорення

.

6. Визначаємо радіус кривизни траєкторії

.

Приклад.

Розв’яжемо задачу, коли рівняння руху точки задано у параметричному вигляді через тригонометричні функції:

, (1)

, (2)

Визначимо рівняння траєкторії, по якій рухається точка, та її кінематичні характеристики руху на момент часу = 1 с.

Для того, щоб визначити рівняння траєкторії (виключити час з цих рівнянь), послідовно виконаємо наступні операції. Перепишемо рівняння (1) та (2) у вигляді:

, (3)

. (4)

Піднесемо праву та ліву частину рівнянь (3) та (4) до другого ступеня, складемо праві та ліві частини і отримаємо

(5)

Ми отримали рівняння еліпса з півосями 5 та 3 з центром у точці (2, -1).

Знайдемо положення рухомої точки . При = 1 c з рівнянь (1) і (2) отримуємо:

= 6,33 (см), = 0,50 (см),

Компоненти вектора швидкості знайдемо як перші похідні від та за часом: ,

.

Отже, для = 1 c:

= 2,62 (см/с),

= –2,72 (м/с),

(см/с).

Відповідні вектори приведені на рис. 4.1.

Далі визначимо компоненти прискорення як похідні від компонент відповідних швидкостей:

,

.

З останніх рівнянь знайдемо компоненти прискорення та його модуль в завданий момент часу = 1 с:

= – 4,75 (см/с²),

= – 1,65 (см/с²),

= 5,03 (см/с²).

Відповідні вектори прискорень зображені на рис. 4.2.

Знаходимо алгебраїчне значення тангенціального прискорення

= – 2,11 (см/с²).

Від’ємне значення означає, що рух точки сповільнений, а тому тангенціальне прискорення напрямлене проти вектора швидкості (дивись рис. 4.1 та 4.2).

Визначаємо нормальне прискорення і радіус кривизни траєкторії точки :

= 4,56 (см/с²),

14,28/4,56 = 3,13 (см).

В ідповідь: траєкторія руху точки – еліпс, при c: (6,33; 0,5), 2,62 см/с, -2,72 см/с, 3,78 см/с, -2,11 см/с², 4,56 см/с², 5,03 см/с², 3,13 см.

Задача к2. Прості види рухів твердого тіла та їх перетворення.

Визначення швидкостей і прискорень точок твердого тіла при поступальному і обертальному рухах.

За даними рівняннями прямолінійного поступального руху тягара 1 визначити і показати на малюнку швидкість, дотичне, нормальне та повне прискорення точки М механізму, якщо тягар пройшов шлях S.

Схеми механізмів показані на рис. 5, а необхідні дані наведені в таблиці завдань.

Необхідно знати:

1.Основну теорему поступального руху тіла.

2. Формули, що за заданим законом S=S(t) поступального прямолінійного руху тіла визначають його швидкість і прискорення.

3. Формули, що за заданим законом обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі j=j(t) визначають його кутову швидкість і кутове прискорення.

4. Формули, за якими визначається швидкість і прискорення будь-якої точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі.

5. Якщо обертання від одного тіла до другого передасться безпосереднім дотиком або за допомогою ременя, тоді кути обертання цих тіл (коліс), їх кутові швидкості і кутові прискорення обернено пропорційні їх радіусам (числам зубців Z):

.

Необхідно вміти:

1. Класифікувати прості рухи твердого тіла.

2. Диференціювати різні функції.

3. Геометрично складати вектори.