Задание № 275.

1.Ненулевые элементы х₁, х₂,…, х_k евклидова пространства попарно ортогональны. Доказать, что эти элементы линейно независимы.

2.Построить ортонормированный базис пространства, приняв за два

вектора этого базиса векторы (1/2, 1/2, 1/2, 1/2) и (1/6, 1/6, 1/2, 5/6).

3.Посредством процесса ортогонализации найти ортогональный базис

пространства, порожденного векторами

a) a₁ = (1, 2, 1, 3), a₂ = (4, 1, 1, 1), a₃ = (3, 1, 1, 0);

b) a₁ = (1, 1, 1, 1), a₂ = (1, 2, 1, 2), a₃ = (1, 0, 0, 0);

c) a₁ = (2, 1, 3, 1) a₂ = (7, 4, 3, 3) a₃ =(1, 1, 6, 0), a₄ = (5, 7, 7, 8).

4.Проверить,что векторы попарно ортогональны и дополнить их до

ортогонального базиса: а = (1, 1, 1, 2), b = (1, 2, 3, 3).

5.Найти угол между вектором х и линейной оболочкой < а_i > :

x = (1, 0, 3, 0), a₁ = (5, 3, 4, 3), a₂ = (1, 1, 4, 5), a₃ = (2, 1, 1, 2).

6. При каких значениях  векторы x = e₁ +e₂  e₃ e₄,

y = e₁  e₂ + e₃  e₄ имеют одинаковые длины?

7. Найти ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую z вектора х на линейное подпространство L:

1. x = (4, 1, 3, 4), L = <(a₁ = (1, 1, 1, 1), a₂ = (1, 2, 2, 1),

a₃ = (1, 0, 0, 3);

2. x = (7, 4, 1, 2), a₁ = (2, 1, 1, 1), a₂ = (1, 1, 3, 0), a₃ = (1, 2, 8, 1);

3. x = (7, 4, 1, 2), L задано системой уравнений:

8. Найти расстояние от точки, заданной вектором х, до линейного многообразия, заданного системой уравнений:

а) б)

9. Определителем Грама векторов а₁, а₂,…, а_k евклидова или

унитарного пространства Rⁿ называется определитель

Доказать, что определитель Грама не изменяется при применении к векторам а₁, а₂,…, а_k процесса ортогонализации, т.е. если в результате ортогонализации векторы а₁, а₂,…, а_k перейдут в векторы b₁, b₂,…, b_k, то

g(а₁, а₂,…, а_k) = g(b₁, b₂,…, b_k) = (b₁b₁)(b₂b₂)…(b_kb_k).

Пользуясь этим, выяснить геометрический смысл g(а₁, а₂) и

g(а₁, а₂, а₃), предполагая векторы линейно независимыми.

10. Нормировать вектор x = e₁sin³ + e₂sin² + e₃sin cos + +e₄cos.

Ответы.

1. Доказательство. 5а. (1, 0, 1, 0), (1, 2, 1, 4).

  5б. (1, 1, 1, 2), (2, 5, 1, 3).

2. (0, , , 0). 6.  =  1.

3. cos  . 7. а) y = 3a₁  2a₂ = (1, 1, 1, 5),

(2, 2, 1, 0), (5, 2, 6, 1). z = (3, 0, 2, 1);

7. б) y = 2a₁  a₂ = (3, 1, 1, 2), z = (2, 1, 1, 4);

7. в) y = (5, 5, 2, 1), z = (2, 1, 1, 3).

8. а) 5; б) 2.

9. g(а₁, а₂) равен квадрату площади параллелограмма, построенного на векторах а₁, а₂; g(а₁, а₂, а₃) равен квадрату объема параллелепипеда, построенного на векторах а₁, а₂, а₃.

10. Вектор нормирован.

28. Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть е₁, е₂ – ортонормированный базис плоскости и линейное преобразование  в базисе f₁ = e₁, f₂ = e₁+e₂ имеет матрицу .

Найти матрицу сопряженного преобразования в том же базисе f₁, f₂.

2. Найти матрицу линейного преобразования *, сопряженного преобразованию  в ортонормированном базисе е₁, е₂, е₃, если  переводит векторы а₁ = (0,0,1), а₂ = (0,1,1), а₃ = (1,1,1) в векторы b₁ = (1,2,1), b₂ = (3,1,2), b₃ = (7,1,4) соответственно, где координаты всех векторов даны в базисе е₁, е₂, е₃.

3. Пусть хОу – прямоугольная система координат на плоскости и   проектирование плоскости на ось Ох параллельно биссектрисе первой и третьей четверти. Найти сопряженное преобразование *.

4. Пусть =  разложение евклидова пространства в прямую сумму двух подпространств;   проектирование Rⁿ на L₁ параллельно L₂ ; L₁* и L₂*  ортогональные дополнения соответственно для L₁ и L₂ ; *  преобразование, сопряженное с . Доказать, что Rⁿ = и что * является проектированием Rⁿ на L₂* параллельно L₁*.