Задание 9-3.

1.Перемножить матрицы:

а)  б)  в) 

г) 

2.Вычислить выражения:

а)   б)  в) f(x) = x³  2x² + 1, х =   .

3.Решить уравнения: а)  б) 

4.Найти обратную матрицу к матрице: а) б)  в) 

5.Найти все матрицы, коммутативные с матрицей: А = 

6.Найти общую и фундаментальную системы решений систем уравнений:

а) х₁  х₃ + х₅ = 0, б) х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 0,

х₂  х₄ + х₆ = 0, ix₁ + (1 + i)x₄ = 0,

х₁  х₂ + х₅  х₆ = 0, (1 + i)x₂ + (1  i)x₃ = 0.

х₂  х₃ + х₆ = 0,  

х₁  х₄ + х₅ = 0,

Ответы.

1а.   2а.  4a.

1б.   2б.   4б.

 1в.   2в. 4в.

1г.   3а. 3б. X =  

5.

 6а. ФСР: (1, 1, 1, 1, 0, 0); (-1, 0, 0, 0, 1, 0); (0, 1, 0, 0, 0, 1);

общ. реш.:

6б. ФСР: (22i, 1+i, 1+i, 2); общ. реш.: С(22i, 1+i, 1+i, 2).

Задание 102.

1.Выполнить деление с остатком многочленов f(x) на g(x):

а) f(x) = x³  3x²  x  1, g(x) = 3x²  2x + 1;

б) f(x) = 2x⁵  5x³ + 8x, g(x) = x + 3.

2.При каком условии полином х⁴ + px² + q делится на полином вида х² + mx + 1?

3.Подобрать такие многочлены u(x) и v(x), что f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1:

f(x) = x⁴  x³  4x² + 4x + 1, g(x) = x²  x  1.

4.Найти наибольший общий делитель многочленов:

а) х⁶ + 2х⁴  4х³  3х² + 8х  5 и х⁵ + х²  х + 1,

б) х⁴  4х³ + 1 и х³  3х² + 1.

5.Найти наибольший общий делитель полинома и его производной: f(x)=(x1)³(x+1)²(x3).

6.Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы М₁(х) и

М₂(х) так, чтобы f₁(x)M₂(x) + f₂(x)M₁(x) = (x), где (x)  наибольший общий делитель f₁(x) и f₂(x): f₁(x) = x⁵ + 3x⁴ + x³ + x² + 3x + 1,

f₂(x) = x⁴ + 2x³ + x + 2 .

Ответы .

1а. 1/9(3x7), 1/9(26x+2). 4a. х³  x + 1.

1б. (2x⁴  6x³ + 13x²  39x + 4б. x²  2 x  1.

+ 125)(x + 3)  375. 5. (x1)² (x + 1).

2. 1) q = p  1, m=0, 6. f₁(x) + (x + 1)f₂(x) = x³ + 1.

2) q = 1, m =  .

3. U(x) = x  1, V(x) = x³ + x²  3x  2.

Задание № 113

Разложить на неприводимые множители над полем С или полем

вещественных чисел многочлены:

1. х⁵  10х³  20х²  15х  4,   2. х⁴ + 4х³ + 4х² + 1,

3. х⁴  ах² + 1,  х < 2, 4. x²ⁿ + хⁿ + 1.

Ответы .

1. (x+1)⁴(x4).

 

3. (x²  x + 1)(x² + x + 1).

4.  x²  2xсos + 1).

 

Задание № 121.

1.Пользуясь схемой Горнера, разложить полином f(x) по степеням х  х₀:

а) f(x) = x⁴ + 2x³  3x²  4x + 1,

б) f(x) = x⁴  2x³ + 4x²  6x + 8,  x₀ = 2.

2.Отделить кратные множители полиномов:

1. f(x) = x⁶ 6x⁴  4x³ + 9x² + 12x + 4,

2. f(x) = x⁷  3x⁶ + 5x⁵  7x⁴ + 7x³  5x² + 3x  1.

3.Построить полином наименьшей степени по данной таблице значений:

x   0 1 2 3 4

f(x)   1 2 3 4 6.