25. Задания для самостоятельной работы.
1. При каком значении линейное преобразование трехмерного пространства, заданное преобразованием координат
x1 = 2x + y + z, y1 = x 2y + z, z1 = x + y + z,
не имеет обратного?
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейных преобразований, заданных в некотором базисе матрицами:
3. Доказать, что если линейное преобразование 2 имеет собственное значение 2, то одно из чисел и является собственным значением преобразования .
4. Доказать, что если А и В – квадратные матрицы одинакового порядка, то матрицы АВ и ВА имеют совпадающие характеристические многочлены.
5. В пространстве многочленов степени не выше k задано линейное преобразование . Найти минимальный многочлен этого преобразования, его собственные значения, собственные векторы, ядро и все инвариантные подпространства:
а)
k
= 2,
b) k = 3,
c)
k
= 2,
6. В пространстве симметрических матриц второго порядка линейное преобразование задано следующим образом:
где
,
Х – любая симметрическая матрица второго порядка. Найти минимальный многочлен этого преобразования, его собственные значения, собственные векторы, ядро и все инвариантные подпространства.
7.
В пространстве квадратных матриц второго
порядка с элементами из поля вещественных
чисел линейное преобразование задано
следующим:
,
где Х
Мn(R).
Найти минимальный многочлен этого
преобразования, его собственные значения,
собственные векторы, ядро и все
инвариантные подпространства.
8. В пространстве квадратных матриц второго порядка с элементами из поля вещественных чисел задано линейное преобразование . Найти минимальный многочлен этого преобразования, его собственные значения, собственные векторы, ядро и все инвариантные подпространства:
а) 
9. При каких значениях число 0 является собственным значением преобразования , заданного матрицей А? При найденном определить совокупность собственных векторов преобразования.
10. При каких значениях число 2 является собственным значением преобразования , заданного матрицей А? При найденном определить совокупность собственных векторов преобразования.
11. При каких значениях , , числа 1, 2, 3 будут являться собственными значениями преобразования , заданного матрицей А? При найденных , , определить совокупность собственных векторов преобразования.
12. Доказать, что линейное подпространство, натянутое на любую систему собственных векторов преобразования , инвариантно относительно .
13. Доказать, что любое подпространство, инвариантное относительно линейного преобразования , будет инвариантно и относительно обратного преобразования 1.
14. Найти все подпространства трехмерного пространства, инвариантные одновременно относительно двух линейных преобразований, заданных матрицами:
и
Ответы.
1. При = 2.
2. а) 1,2 = 1: с1(2, 1, 0) + с2(1, 0, 1);
3 = 1: с(3, 5, 6), сi0 одновременно.
b) 1 = 1: c(1, 2, 1); 2 = 2 + 3i: c(3 3i, 5 3i, 4);
3 = 2 3i: c(3 + 3i, 5 + 3i, 4), c 0.
c) = 2, c1(1, 1, 0, 1) + c2(0, 0, 1, 1).
3.
Указание: рассмотреть
5.a) 1,2 = 0: с1(1, 0, 4) + с2(0, 1, 0); 3 = 1, с3(0, 0, 1); fmin = t2 t.
b) 1,2,3 = 0: c1(0, 0, 1, 0) + c2(0, 1, 0, 4); 4 = 1: c3(0, 0, 0, 1);
fmin = t3 t2.
c) 1,2 = 0: c1(0, 1, 2), 3 = 1: c2(0, 0, 1); fmin = t3 t2.
6. 1,2,3 = 2, c(1, 0, 0), fmin = (t 2)3.
7. 1 = 0: c1(0, 1, 1, 0);
2,3,4 = 2: c2(1, 0, 0, 0) + c3(0, 1, 1, 0) + c4(0, 0, 0, 1), fmin = t2 2t.
8. a) 1,2,3,4 = 2, c1(1, 0, 0, 0) + c2(0, 1, 1/2, 0), fmin = (t 2)3.
b) 1,2,3,4 = 2, c1(1, 1, 0, 0) + c2(2, 0, 1, 1), fmin = (t 2)3.
c) 1,2,3,4 = 1, c1(1, 1, 0, 0) + c2(1, 0, 1, 1), fmin = (t 1)3.
9. 1 = 3, 2 = 1, a) c(1, 0, 1), b) c(0, 1, 1), c) c1(1, 1, 0) + c2(1, 0, 1).
10. = 0, c1(1, 2, 0) + c2(0, 0, 1).
11. = 5, = 3, = 2, c1(1, 2, 1), c2(3, 1, 0), c3(1/2, 1, 1).
14. < (1, 2, 1) >; < (1, 1, 1), (1, 2, 3) >, нулевое и все прво.