Ответы .

1а. Да. 1б. Нет. 1в. Нет. 2а. Ком. 2б. Ком. 2в. Ком., ас. 3а. Да. 3б. Да. 3в. Да. . 3г. Да при d = 1. 3д. Да. 3е. Нет. 3ж. Да. 3з. Нет. 3и. Да. 3к. Да.

Задание № 16-4.

1.Найти порядок элемента группы:

а) б)

2.Доказать, что если е - единица и а - элемент порядка n группы G, то а^k = е тогда и только тогда, когда k делится на n.

3.Какие из следующих числовых множеств образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения: 

а) множество Q;

б) множество вещественных чисел вида x + y + z , x, y,  Q ?

4.Какие из следующих матриц образуют кольца ?

а)  б)   в)

г) множество матриц порядка n  2, у которых две последние строки  нулевые;

д) множество вещественных симметрических матриц порядка n ?

5.Доказать, что следующие множества являются полями:

а) Q с операциями +, , *, где a*b = 2ab;

б) Кольцо классов вычетов Z₃.

2.Показать гомоморфизм колец  и R при отображении

Ответы.

1а. 8; 1б. 8; 2. Док-во. 3а. Да. 3б. Да. 4а. Да. 4б. Нет. 4в. Да. 4г. Да. 4д. Нет.

Задание № 17-2.

1.Найти обратную к квадратной матрице  , где А, С - невырожденные матрицы.  

2.Доказать, что если матрицы А и В ортогональны, то матрицы

А^-1 и АВ также ортогональны.

3.Найти все нижние нильтреугольные матрицы, коммутативные со всеми нижними нильтреугольными матрицами того же порядка.

4.Доказать, что произведение верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной матрицей.

5.Показать, что матрица, обратная к неособенной симметрической матрице будет симметрической матрицей.

6.Показать, что произведение двух кососимметрических матриц тогда и только тогда будет матрицей симметрической, когда данные матрицы перестановочны.

7.Проверить, что матрица А является симметрической, ортогональной, инволютивной,  А =  

8.Найти Аⁿ для всех целых положительных чисел n:

а) А =    в) А =

Ответы .

1. 8a.  

2. Доказательство.  

3. { E_1,n-1, E}.  8б.  

4. Нет ответа.  n  2(md3), n  0(md3), n 1(md3).

5. Доказательство.

6. Доказательство.

7. Доказательство.  

ЗАДАНИЕ № 18-1

 

1.Выяснить, являются ли подобными между собой матрицы:

А =   В = 

2.Найти минимальный многочлен единичной матрицы.

3.Привести к нормальной диагональной форме путём элементарных

преобразований следующие матрицы:

а) б) 

4.Привести к нормальной диагональной форме при помощи делителей миноров следующие матрицы:

а)   б) 

Ответы.

 

  1. Да. 4а.  

2. t  1.  

3а.   4б.  

3б.  

ЗАДАНИЕ № 19-5.

1.Выяснить, являются ли подобными между собой матрицы:

А = В =

2.Найти минимальный многочлен нильпотентной матрицы с показателем нильпотентности k.

3.Привести к нормальной диагональной форме путём элементарных преобразований следующие матрицы:

а)   б)

4.Привести к нормальной диагональной форме при помощи элементарных преобразований следующие матрицы:

а)   б) 

Ответы.

   

1. Да. 4а.  

2. t^k.  

3а.   4б.

3б.  

ЗАДАНИЕ № 20-4.

Найти жорданову форму матриц:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Ответы.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

Задание № 213.

1.Доказать линейную независимость системы функций sinX, cosX.

2.Проверьте, выполняются ли аксиомы векторного пространства

над произвольным полем F, если операции определены следующим образом:

3.Является ли множество всех арифметических nмерных векторов (x₁, x₂,...,x_n) в Fⁿ векторным пространством над полем F, если:

а) x₁ + x₂ +...+x_n =0 ;  б) х₁ х_n = 1 ?

4.Является ли векторным пространством над полем рациональных чисел множество чисел вида а + b, a, b  рациональные?

5.Покажите, что множество матриц  с элементами из поля F c обычными операциями сложения матриц и умножения на число является векторным пространством над F и что это пространство изоморфно векторному пространству F⁴.

6.При каких , , ,  система векторов (, ), (, ) образует базис арифметического векторного пространства над полем R ?

Ответы. 1 Док-во.

2 Нет при n>1

3а Да.

3б Нет.

4 Да.

5 Док-во.

6      