- •Экономико - математическое моделирование
- •Основные понятия.
- •Понятие о моделях.
- •Этапы эмм
- •Классификация экономико-математических моделей:
- •Роль экономико-математического моделирования в современной экономике и управлении:
- •Балансовые модели
- •Применение межотраслевой балансовой модели.
- •Построение балансовых моделей в системе Mathcad.
- •Трендовые модели.
- •Сглаживание или выравнивание временных рядов.
- •Модели прогнозирования экономических процессов:
- •Трендовые модели в Excel.
- •Для построения трендовой модели в программе Excel используют следующие средства:
- •Оценка достоверности уравнений регрессии
- •Построение трендовой модели в программе Excel:
- •Процесс обнаружения тренда в Exel:
- •Оптимизационные модели
- •Задачи оптимального программирования.
- •Средства программы Excel для построения модели оптимизации.
- •Работа с надстройкой Поиск решения.
- •Линейные модели оптимизации.
- •Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •Линейные модели оптимизации в Excel.
- •Задача распределения ресурсов.
- •Пример решения транспортной задачи.
- •Анализ оптимального решения средствами Excel.
- •Линейное целочисленное программирование.
- •Нелинейные модели оптимизации.
- •Основные понятия Нелинейные модели оптимизации.
- •Условная и безусловная оптимизация.
- •Целочисленные и дискретные задачи.
- •Многопараметрическая оптимизация.
- •Виды параметров оптимизации
- •Оценка важности параметров в баллах.
- •Обобщенная целевая функция.
- •Метод последовательных уступок.
- •Решение уравнений и задач оптимизации
- •Подбор параметров
- •Команда Поиск решения
- •Диспетчер сценариев «что – если»
- •Задачи распределения финансирования.
- •Распределение финансирования в иерархической структуре.
- •Оптимизация распределения финансирования
- •Распределение недостаточного финансирования.
- •Задачи оптимизации распределения ресурсов во времени.
- •Эконометрическое моделирование.
- •Основные понятия
- •Классификация эконометрических моделей:
- •Этапы построения регрессионной модели:
- •Определение система показателей экономической системы и определение влияющих факторов.
- •Эконометрическое моделирование в Excel и Mathcad.
Условная и безусловная оптимизация.
Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.
Математическое программирование используется при решении оптимизационных задач исследования операций. Способ нахождения экстремума полностью определяется классом поставленной задачи.
Оптимизация бывает: условная и безусловная.
Условной оптимизации - содержит некоторые ограничения по независимым переменным на множестве G. Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих равенствам или неравенствам.
Задача условной оптимизации заключается в поиске минимального или максимального значения скалярной функции f(x) n-мерного векторного аргументах. Решение задачи основывается на линей-ной или квадратичной аппроксимации целевой функции для определения приращений x1, …,xn на каждой итерации. Существуют также приближенные методы решения нелинейных задач. Это мето-ды основанные на методе кусочно-линейной аппроксимации.
Решение задачи условной оптимизации зачастую нельзя найти, используя аналитические методы решения, поэтому требуется использование дополнительных численных методов. В настоящее время разработано множество численных методов для задач как безусловной, так и условной оптимизации.
Методы условной оптимизации, как правило, сводят решение исходной задачи к многократному решению вспомогательной задачи безусловной оптимизации.
Задача безусловной оптимизации состоит в нахождении минимума или максимума функции в от-сутствие каких-либо ограничений.
Несмотря на то что большинство практических задач оптимизации содержит ограничения, изучение методов безусловной оптимизации важно с нескольких точек зрения. Многие алгоритмы решения задачи с ограничениями предполагают сведение ее к последовательности задач безусловной оптимизации. Другой класс методов основан на поиске подходящего направления и последующей минимизации вдоль этого направления. Обоснование методов безусловной оптимизации может быть естественным образом распространено на обоснование процедур решения задач с ограничениями.
Решение безусловной оптимизации является более простым и легко реализуется в современных ма-тематических пакетах. Для решения поставленной задачи используются средства программы MathCAD.
Задачи нелинейного программирования самого различного физического смысла допускают геометрическую интерпретацию.
Процесс нахождения решения задачи нелинейного программирования с использованием ее геометрической интерпретации включает следующие этапы:
1.Находят область допустимых решений задачи, определяемую соотношениями (если она пуста, то задача не имеет решения).
2.Строят гиперповерхность f (x1, x2, …, xn) = h.
3.Определяют гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня или устанавливают неразрешимость задачи из-за неограниченности функций сверху (внизу) на множестве допустимых решений.
4.Находят точку области допустимых решений, через которую проходит гиперповерхности наивысшего (наинизшего) уровня, и определяют в ней значение функции.
Или приводят задачу нелинейного программирования к задаче линейного программирования и решают нижеизложенными способами.
Задача является задачей линейного программирования, а следовательно, ее решение можно найти известными методами: 1) графический; 2) табличный (прямой, простой) симплекс – метод; 3) метод искусственного базиса; 4) модифицированный симплекс – метод; 5) двойственный симплекс – метод.
Метод множителей Лагранжа - метод нахождения условного экстремума функции , где , относительно ограничений φi(x) = 0, где меняется от единицы до .
С помощью метода множителей Лагранжа по существу устанавливаются необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничениями-равенствами. При этом задача с ограничениями преобразуется в эквивалентную задачу безусловной оптимизации, в которой фигурируют не-которые неизвестные параметры, называемые множителями Лагранжа.
Метод множителей Лагранжа применяется:
при решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях;
Основной метод решения задачи об оптимизации качества кодирования аудио и видео данных при заданном среднем бит рейте.
Описание метода множителей Лагранжа:
Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции f и функций φi, взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа — λi: , где .
Составим систему из n + m уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по xj и λi.
Если полученная система имеет решение относительно параметров x'j и λ'i, тогда точка x' может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.
Решение оптимизационных задач в Excel с использованием настройки Поиск решения
Для решения оптимизационных задач в Excel предназначена надстройка «Поиск решения».
Средство поиска решения Microsoft Excel использует алгоритм нелинейной оптимизации Generalized Reduced Gradient (GRG2). Поиск решений является частью блока задач, который иногда называют анализ "что - если". Процедура поиска решения позволяет найти оптимальное значение формулы содержащейся в ячейке, которая называется целевой. Эта процедура работает с группой ячеек, прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить по формуле, содержащейся в целевой ячейке, заданный результат, процедура изменяет значения во влияющих ячейках. Чтобы сузить множество значений, используемых в модели, применяются ограничения. Эти ограничения могут ссылаться на другие влияющие ячейки.
Процедуру поиска решения можно использовать для определения значения влияющей ячейки, которое соответствует экстремуму зависимой ячейки - например можно изменить объем планируемого бюджета рекламы и увидеть, как это повлияет на проектируемую сумму расходов.
Для решения общей оптимизационной задачи в Excel с использованием настройки Поиск решения следует выполнить следующие действия:
Ввести формулу для целевой функции;
Ввести формулы для ограниченй оптимизационной задачи;
Выбрать в Excel пункт меню Сервис/Поиск решения;
В окне Поиск решения выбрать целевую ячейку, изменяемые ячейки и добавить ограничения;
Нажать кнопку Выполнить, после чего будет получено решение оптимизационной задачи.
Программа Поиск решений – дополнительная надстройка табличного процессора MS Excel, которая предна-значена для решения определенных систем уравнений, линейных и нелинейных задач оптимизации.