Тема 7. Средние величины.

1. Средние величины, их сущность и значение.

В результате группировки и сводки первичных материалов получаются статистические данные о численности единиц или суммарном значении интересующего нас признака по всей совокупности или в отдельных группах.

Часто необходимо исчислять показатели, дающие обобщенную характеристику совокупности по тому или иному признаку. Среди таких показателей большое значение имеют средние величины.

В процессе изучения массовых общественных явлений возникает необходимость выявления их общих свойств, типичных размеров и характерных признаков. Эта необходимость возникает тогда, когда признаки, характеризующие единицы изучаемой совокупности, количественно варьируют. Таким образом, средние величины исчисляют для того, чтобы дать сводную обобщающую характеристику всей совокупности или ее отдельных групп по одному какому-либо признаку. Например, заработная плата у работников одной профессии может быть различна и зависит от стажа, квалификации и др. показателей, но в то же время в условиях конкретного места и времени существует какой-то характерный размер их заработка в отличие от заработка других профессий.

Исчисление средних обобщающих показателей означает отвлечение (абстрагирование) от особенностей, отражающихся в величине признака у отдельных единиц, и выявление общих для данной совокупности типичных черт и свойств. Таким образом, средняя величина является величиной абстрактной, так как она не подменяет конкретных индивидуальных значений признака, но именно в этой способности абстрагироваться от случайностей отдельных значений и заключена научная ценность средних, как обобщающих характеристик совокупности.

Например, часовая выработка рабочих (токарь) зависит от общих условий производства (все работают на одинаковых станках, используют одинаковое сырье и т.д.). В то же время часовая выработка отдельных рабочих колеблется, варьирует, так как зависит от индивидуальных особенностей каждого рабочего (его квалификации, образования). Для того, чтобы охарактеризовать часовую выработку всех рабочих, необходимо вычислить среднюю величину часовой выработки, так как только в этом показателе найдут отражение общие для рабочих условия производства.

Средними величинами в статистике называют такие показатели,

которые выражают типичные черты и дают

обобщенную количественную характеристику

однородных общественных явлений по

какому-либо варьирующему признаку.

Средняя величина характеризует всю массу единиц изучаемой совокупности, выражая то общее, что характерно для данной совокупности и не характеризует отдельные единицы, из которых состоит совокупность.

Средняя величина правильно характеризует только однородные (однотипные) по содержанию группы или совокупности: только такая средняя будет типичной. Если же средние исчисляются для разнокачественных, разнотипных явлений, то они теряют реальный смысл. Например, средний доход на 1 жителя: экономическая природа доходов рабочих, служащих, бизнесменов различна. Глеб Успенский «Четверть лошади»: «если взять миллионщика Колотушкина, у которого в кармане миллион, к нему добавить просвирню Кукушкину, у которой грош, так тогда в среднем на каждого и выйдет по полмиллиона».

В зависимости от того, являются ли показатели абсолютными или относительными величинами, вычисленные из них средние также принимают значения абсолютных или относительных величин.

Уровень любого общественного явления обусловлен действием двух групп факторов:

- одни из них являются общими и типичными (например, при вычислении выработки необходимо сравнивать бригады, осуществляющие работу в течение рабочего дня одинаковой продолжительности, использующие одинаковые средства труда и т.д.).

- другие факторы являются индивидуальными, свойственными каждой единице совокупности (например, квалификация, стаж).

Именно причины I порядка и формируют то типичное для всех единиц изучаемой совокупности, которое и отражается в средней величине.

Прежде чем исчислять среднюю величину, необходимо:

1. Обеспечить качественную однородность единиц совокупности путем применения метода группировок.

2. Исчислять средние не только для совокупности в целом, а широко использовать групповые средние для отдельных частей совокупности.

3. Правильно выбирать вид средней в зависимости от свойств осредняемых величин.

2. Виды средних величин.

В статистике применяются различные виды средних величин, которые выводятся из формулы степенной средней:

___________

-- z   X ^z

X =  ----------------

n

при z = 1  средняя арифметическая

z = 0  средняя геометрическая

z = -1  средняя гармоническая

z = 2  средняя квадратическая

Наиболее простой и распространенной является средняя арифметическая. Она бывает простая и взвешенная.

Средняя арифметическая простая вычисляется в тех случаях, когда каждое отдельное значение признака встречается один раз.

В общем виде формулу простой арифметической средней можно записать так:

-- x₁ + x₂ + x₃ + … + x_n  x_i

X арифм. = --------------------------------------- = ----------

n n

Пример:

№ рабочего	1	2	3	4	5	6
Заработная плата, руб.	400	500	600	300	550	350

-- 400 + 500 + 600 + 300 + 550 + 350 2700

X арифм. = ------------------------------------------------- = --------- = 450 руб.

6 6

Когда значения признака (варианты) встречаются по нескольку раз, применяется средняя арифметическая взвешенная.

-- x₁* f₁ + x₂* f₂ + x₃ * f₃ + … + x_n * f_n  x_i * f_i

X арифм.взвеш = ----------------------------------------------------- = ----------

f₁ + f₂ + f₃ + … + f_n  f_i

Пример:

Заработная плата, руб. xi	Число рабочих, чел. fi
300	1
400	2
500	3
600	2

-- 1*300 + 2*400 + 3*500 + 2*600 3800

X арифм.взвеш.= ------------------------------------------- = ---------- = 475 руб.

1 + 2 + 3 + 2 8

В интервальном вариационном ряду за значение варьирующего признака принимается центр (середина) интервала. Среднее значение интервала находят как полусумму верхней и нижней границ. Если интервал открытый («до…», «свыше…»), то величиной первого интервала считают величину последующего интервала, а величиной последнего -- величину предыдущего. При этом мы исходим из предложения о равномерности распределения вариант внутри интервалов.

Пример:

Заработная плата, руб. xi	Середина интервала, xi	Число рабочих, чел. fi
до 300	200	1
300 - 500	400	2
500 - 1000	750	2
свыше 1000	1250	3

-- 1*200 + 2*400 + 2*750 + 3*1250 6250

X арифм.взвеш=--------------------------------------------- = ---------- = 781 руб.

1 + 2 + 2 + 3 8

Естественно, что средняя, рассчитанная по интервальному ряду, будет иметь погрешности от действительной величины. Эта погрешность зависит:

-- от числа случаев. Чем их больше, тем меньше середина интервала будет отличаться от групповой средней.

-- от величины интервала. Если верхняя граница не очень далеко отстоит от нижней, то и ошибка будет незначительна.

-- от характера распределения. Чем более симметрично распределение, тем меньше ошибка.

-- от принципа построения интервального ряда. При равных интервалах центр его будет ближе примыкать к средней арифметической по данной группе.

Средняя гармоническая.

--  x_i * f_i  M_i

X гарм. = -------------- = ----------------

x_i * f_i 1

 ---------  ---- * M_i

x_i x_i

Пример:

Заработная плата, руб. xi	Фонд заработной платы, руб. xi * fi
300	600
400	800
500	1500
600	1800

-- 600 + 800 + 1500 + 1800 4700

X гарм. = ------------------------------------------------- = ---------- = 470 руб.

600 800 1500 1800 10

------ + ------ + ---------- + ---------

300 400 500 600

Средняя геометрическая.

_____

-- n 

X геом. =  ПК (см. тему «Ряды динамики»).

Средняя квадратическая.

________________

 __

--   ( x_i - x )² * f_i

X геом. =  ----------------------- (см. тему «Показатели вариации»).

 f_i

Средняя хронологическая.

Если числовые значения признака (варианты) известны на определенные периоды времени -- моменты. (Среднегодовая стоимость основных фондов, среднесписочная численность персонала и т.д.)

-- 1/2*x₁ + x₂ + x₃ + … + 1/2*x_n

X хронол. = -----------------------------------------------

n - 1

При расчете средних величин появилось понятие “вес”. Всегда ли понятия веса и частоты совпадают? В предыдущих примерах совпадало. Рассмотрим такой экономический показатель, как уровень рентабельности:

--  Балансовая прибыль

R общая = --------------------------------------------------------------------------------

 Основные фонды + Нормируемые оборотные средства

В качестве веса будет выступать стоимость основных производственных фондов и нормируемых оборотных средств, то есть понятие веса и частоты не всегда совпадают.

На практике из массы признаков необходимо выбрать один, который следует использовать в качестве веса. Выбор веса не следует пониамть так, что всякий раз может быть несколько вариантов взвешивания. Вопрос должен быть решен таким образом, чтобы в результате взвешивания был бы обеспечен возврат к тем величинам, которые играли роль числителя при исчислении средней величины. Следовательно, при взвешивании средних величин в качестве весов должен быть взят знаменатель дроби, ибо только при умножении на то, на что раньше делили, мы вернемся к первоначальной величине.