2. Дифференциальные уравнения движения мат. Точки. В декартовых естесвенных координатах. Начальные условия движения.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки:

в проекции на декартовы оси коорд.:

на оси естественного трехгранника:

ma_=F_i;

ma_n=F_in;

ma_b=F_ib

(a_b=0 – проекция ускорения на бинормаль), т.е.→

( – радиус кривизны траектории в текущей точке).

Рассматривая представленные формы диф. Ур-ий движения точки, приводит к подстановке и решению 2-х основных задач динамики.

Роль начальных условий при интегрировании дифференциальных уравнений

Начальные условия при интегрировании дифференциальных уравнений необходимы для нахождения частного решения задачи. Иначе говоря, для определения констант интегрирования. Например: если взять свободно падающее тело, а также условия t=0 y=0 y^’=0, то основное уравнение динамики будет иметь вид my^’’=mg, откуда y^’’=g. Следовательно, интегрируя дважды получим y=gy²/2+c₁y+c₂. Чтобы определить константы интегрирования с₁ и с₂, подставим начальные условия: при t=0 0=y*0+c₁, 0=y*0/2+c₁*0+c₂. Отсюда с₁ и с₂ равны нулю, следовательно y^’=gt, y=dt²/2.

3.Две основные задачи динамики мат. Точки. Законы свободного паденя.

Первая задача динамики.

Зная массу точки точки и урав­нения ее движения:

x = f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t),

найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке.

Эта задача легко решается следующим путем:

Вторая задача динамики. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу m, а также начальное положение точки и ее начальную скорость, получить уравнения движения точки.

Для решения этой задачи необходимо в левую часть уравне­ний

подставить значение массы m, а в правую часть — суммы проекций приложенных сил и полученные уравнения дважды проин­тегрировать по времени.

З аконы свободного падения тела:

1.Скорость свободно падающего тела пропорциональна вре мени падения.

2. Пути, проходимые свободно падающим телом, пропор циональны квадрату времени падения.

4.Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки в случаях:

F=const, F=F(t), F=F(v),F=F(s). ОТВЕТ 1)Сила зависит только от времени. Пусть материальная точка массой m движется прямолинейно под действием переменной силы, зависящей только от времени, т.е. F=F(t). Запишем дифференциальное уравнение прямолинейного движения

разделяя переменные и интегрируя получим .

Далее, так как F(t) известна, то этот интеграл можно вычислить, в результате чего получим некоторую функцию времени. Обозначая ее через Ф(t) получим ,

т.е. закон изменения скорости точки. Проинтегрируя обе части в пределах от x₀ до х и от 0 до t, окончательно находим

.

2)Сила зависит от скорости.

Пусть материальная точка массой m движется прямолинейно под действием переменной силы, зависящей только от скорости, т.е. F=F(v). Запишем дифференциальное уравнение прямолинейного движения

(1)

разделяя переменные и интегрируя получим .

Если из этого уравнения нельзя найти v как явную функцию, воспользуемся следующим преобразованием (2),

тогда уравнение (1) примет вид

,

разделив переменные и интегрируя в соответствующих пределах, получим:

,

откуда, найдя v(х), можно проинтегрировать еще раз и получить функцию х(t).

3)Сила зависит от координаты.

Пусть материальная точка массой m движется прямолинейно под действием переменной силы, зависящей только от координаты, т.е. F=F(х). Запишем дифференциальное уравнение прямолинейного движения

(3),

для того чтобы в (3) избавиться от времени, воспользуемся преобразованием (2) из пред. пункта, тогда mvdv=F(x)dx. Интегрируя в соответствующих пределах получим:

,

в результате получим

,

где Ф(х) это

.

Далее, интегрируя повторно получим выражение ,

откуда найдем искомый закон движения точки.