25 Обобщенные координаты системы, обобщенные силы, их вычисление.
Независимые между собой параметры, которые однозначно определяют положение механической системы в пространстве в любой момент времени, называются обобщенными координатами.
В качестве обобщенных координат можно использовать отрезки прямых, дуги, углы, а также любые другие параметры, полностью определяющие положение системы. Обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате, называется величина, равная коэффициенту при вариации этой обобщенной координаты в выражении возможной работы всех активных сил, действующих на механическую систему.
1.
Аналитический
2.Для
мех. Систем с числом степеней свободы,
большим единицы, обобщенные силы
целесообразно вычислять последовательно,
учитывая то, что обобщенные координаты
и их вариации независимы. Системе всегда
можно сообщить такое возможное
перемещение, при котором изменяется
только одна обобщенная координата
,
индекс i
означает, что возможная работа сил,
действующих на систему, определяется
на перемещениях точек приложения этих
сил, соответствующих вариации только
одной i-й
обобщенной координате.
3.
Пусть силы приложенные к точкам системы,
потенциальные. В этом случае используем
силовую функцию
Потенциальная сила
Т.к.
потенциальная энергия и силовая функция
связаны соотношением
,
то
,
Т.е., если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой функции по соответствующим обобщенным координатам.
26 Уравнение Лагранжа второго рода.
Представляет собой дифференциальные уравнения движения несвободной мех системы в обобщенных координатах.
Т
– кинетическая энергия системы.
S-обобщенная
координата.
- обобщенная скорость
-
обобщенная сила, - это есть коэффициент
стоящий при обобщенной координате в
уравнении суммы работ всех сил при
перемещении системы по обобщенной
координате.
Пускай
q - обобщенная координата, зависящая от
времени. Производная по времени от
обобщенной координаты - обобщенная
скорость, тогда:
.
Кинетическая энергия механической
системы:
.
Частная производная кинетической
энергии по обобщенной координате:
,
частная производная кинетической
энергии по обобщенной скорости:
.
Продифференцируем последнее выражение
по времени:
;
учитывая, что:
и
получим:
или
.