21.3. Доказать, что последовательность
имеет предел, равный 0.
21.4.
Доказать, что последовательность
сходится к
.
21.5.
Доказать, что последовательность
не имеет предела при
.
21.6.
Доказать, что
.
21.7.
Доказать, что
.
21.8. Имеет ли предел последовательность?
а)
; б)
.
21.9.
Последовательность
имеет предел
.
Доказать,
что
.
Что
можно сказать об этом пределе, если
?
(Привести примеры).
21.10. Найти пределы:
а)
;
б)
.
21.11. Найти пределы:
а)
;
б)
.
21.12.
Доказать, что последовательность
расходится.
21.13.
Доказать, что
.
21.13.
Найти
.
21.14.
Доказать, что при
справедливо
равенство
.
21.15.
Доказать, что
.
21.16.
Доказать, что при
справедливо
равенство
.
21.17. Доказать, что при справедливо равенство
Занятие № 22.
Вычисление пределов функций с помощью определения и свойств пределов.
22.1.
Доказать, что
.
22.2
Доказать, что
.
22.3. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
.
22.4. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
22.5. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
22.6. Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
.
Занятие № 23.
Вычисление пределов функций с помощью алгебраических преобразований.
23.1. Найти пределы рациональных функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
23.2. Найти пределы иррациональных дробей:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
,
23.3. Найти пределы в бесконечно удаленных точках:
а)
; б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Занятие № 24.
Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
24.1. С применением первого замечательного предела, вычислить:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
24.2. С применением второго замечательного предела вычислить:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
24.3. С применением третьего замечательно предела, вычислить:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Занятие № 25.
Вычисление пределов с помощью эквивалентных функций.
Найти пределы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
Занятие № 26.
Непрерывность функций и точки разрыва.
26.1.
Исследовать на непрерывность функцию
.
В случае разрыва указать его характер.
26.2.
Исследовать на непрерывность функцию
.
В случае разрыва указать его характер.
26.3.
Исследовать на непрерывность функцию
.
В случае разрыва указать его характер.
26.4.
Исследовать на непрерывность функцию
.
В случае разрыва указать его характер.
26.5.
Исследовать на непрерывность функцию
.
В случае разрыва указать его характер.
26.6.
Исследовать на непрерывность функцию
.
В случае разрыва указать его характер.
26.7.
Исследовать на непрерывность функцию
.
В случае разрыва указать его характер.
3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Занятие № 27.
Дифференцирование функций. Геометрический смысл производной.
27.1. Используя определение производной, найти производные следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
.
27.2. Используя правила дифференцирования, найти производные следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
27.3. Используя метод логарифмического дифференцирования, найти производные функций
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
27.4.
Составить уравнения касательной и
нормали к графику функции
в точке с абсциссой
.
27.5.
Составить уравнение касательной к
графику функции
,
перпендикулярной прямой
.
27.6.
Составить уравнение касательной к
графику функции
,
проходящей через точку
.
27.7.
Найти угол между параболами
и
в точке их пересечения.
27.8.
Составить уравнение касательной к
графику функции
,
параллельной прямой, проходящей через
точки (1;7) и (-2;-2).
27.9.
Найти производные гиперболических
функций
,
,
и
.
27.10. Найти производные неявных функций
а)
б)
в)
г)
27.11.
Найти производные функций
,
заданных параметрически
а)
б)
в)
г)
Занятие № 28.
Дифференциал и его применение в приближенных вычислениях.
28.1. Найти дифференциалы функций
а)
б)
в)
г)
28.2. Найти приближенно изменение функции
а)
,
а
меняется
от 100 до 101
б)
,
а
меняется
от
до
в)
,
а
меняется
от 2 до 1,98
г)
,
а
меняется
от
до
д)
,
а
меняется
от 1 на 0,2
28.3. Вычислить приближенно
а)
б)
,
если
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
28.4. С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 1%?
Занятие № 29.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.
29.1.
Найдите производную 4-го порядка от
функции
29.2. Найдите производные 2-го порядка функций
а)
б)
в)
29.3. Найти производные 2-го порядка от функций, заданных параметрически
а)
б)
29.4. Найти производные n-го порядка функций
а)
б)
в)
29.5. Найти вторые дифференциалы функций
а)
б)
в)
29.6.
Найти третий дифференциал функции
29.7. Разложить по формуле Тейлора (до степени не ниже 3-й) функции:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
29.8. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Занятие № 30.
Правило Лопиталя.
30.1. Используя правило Лопиталя, найти пределы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
30.2. Используя правило Лопиталя, найти пределы:
а)
б)
в)
г)
д)
30.3. Используя правило Лопиталя, найти пределы:
а)
б)
в)
г)
Занятие № 31.
Исследование функции на монотонность и экстремум
с помощью первой производной.
31.1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функций
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
31.2. Найти наибольшее и наименьшее значение функций на заданных отрезках
а)
б)
в)
г)
д)
31.3. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых сторон имеет периметр, равный 6 см. Найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и найти этот объем.
31.4. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном, при которых на облицовку стен и дна пойдет наименьшее количество материала. Объем бассейна V фиксирован.
31.5. Требуется огородить два участка: один – в форме правильного треугольника, другой – в форме полукруга. Длина изгороди фиксирована и равна Р. Определить размеры участков (строну треугольника и радиус полукруга) так, чтобы сумма площадей этих участков была бы наибольшей.
31.6. В треугольнике с основанием а и радиусом h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.
Занятие № 32.
Исследование функции на выпуклость и наличие точек перегиба
с помощью производной второго порядка.
32.1. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
Занятие № 33.
Асимптоты графиков функций.
33.1. Найти асимптоты графиков функций
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
Занятие № 34.
Общая схема исследования функций и построения графиков.
34.1. Исследовать функции и построить их графики
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
34.2. Исследовать функции и построить их графики
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
