Занятие № 10. Скалярное произведение векторов.
10.1.
Найти скалярное произведение векторов
и
.
10.2.
Даны точки
.
Найти косинус угла между векторами
и
.
10.3.
Найти косинус угла между векторами
и
.
10.4.
Даны векторы
,
и их представление через векторы
и
:
.
Найти косинус угла между векторами
и
.
10.5.
Найти проекцию вектора
на направление вектора
.
10.6.
Даны векторы
,
.
При каком
векторы
и
ортогональны?
10.7.
Даны вершины треугольника A(-3.-2,0),
B(0,-2,4) и C(4,-2,1). Найти угол
.
10.8.
Найти вектор
,
коллинеарный вектору
и удовлетворяющий условию
.
10.9.
Доказать, что если
- единичные векторы, то их линейные
комбинации
и
,
где
,
перпендикулярны между собой тогда и
только тогда, когда
.
10.10. Используя скалярное произведение векторов, доказать теорему косинусов.
10.11. Выразить длины медиан треугольника через длины его сторон.
10.12. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.
10.13. Боковые стороны трапеции перпендикулярны между собой. Доказать, что сумма квадратов длин ее диагоналей равна сумме квадратов длин оснований.
10.14. Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей любого четырехугольника равна сумме квадратов длин его сторон без учетверенного квадрата длины отрезка, соединяющего середины диагоналей.
10.15. Суммы квадратов длин противоположных ребер тетраэдра равны между собой. Доказать, что противоположные ребра перпендикулярны друг другу.
Занятие № 11. Векторное и смешанное произведение векторов.
11.1. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(4,6,-2), B(7,4,4), C(1,1,6).
11.2.
Найти высоту и площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
11.3.
Даны точки A(2,-1,3), B(1,2,0) и C(3,2,2). Найти
координаты векторных произведений: а)
;
б)
.
11.4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и :
11.5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и :
11.6.
Найти координаты вектора
,
если известно, что он перпендикулярен
векторам
и
,
образует с ортом
тупой угол и
.
11.7.
Определить являются ли векторы
компланарными.
11.8.
Показать, что векторы
,
,
компланарны и разложить вектор
по векторам
и
.
11.9. Определить, лежат ли точки А(1,0,1), В(4,4,6), С(2,2,3), D(10,14,17) в одной плоскости?
11.10.
При каком
векторы
,
,
компланарны?
11.11.
Найти объем параллелепипеда, построенного
на векторах
,
,
.
11.12. Даны вершины тетраэдра A(5,2,1), B(2,5,1), С(1,2,5) и D(0,0,1). Вычислить объем тетраэдра, площадь грани ABC и высоту, опущенную на эту грань.
11.13. Даны три вершины тетраэдра A(3,0,1), B(2,1,3), С(2,-1,-1). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси ординат, а объем тетраэдра равен 5.
11.14. Найти смешанное произведение векторов:
а)
;
б)
;
в)
.
11.15.
Дана треугольная призма
.
Найти ее объем, если:
а)
;
б)
.