- •Оглавление
- •Введение
- •1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Занятие № 5. Линейные пространства.
- •Занятие № 6. Евклидовы пространства.
- •Занятие № 7. Линейные операторы и матрицы.
- •Занятие № 10. Скалярное произведение векторов.
- •Занятие № 11. Векторное и смешанное произведение векторов.
- •Занятие № 12. Прямая на плоскости.
- •Занятие № 13. Кривые второго порядка.
- •Занятие № 14. Преобразование координат на плоскости. Приведение уравнений к каноническому виду.
- •Занятие № 15. Плоскость в пространстве.
- •Занятие № 16. Прямая в пространстве.
- •Занятие № 17. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
- •Занятие № 18. Поверхности в пространстве.
- •2. Введение в математический анализ.
- •21.3. Доказать, что последовательность
- •4. Интегральное исчисление функций одной переменной.
- •5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •Занятие № 46. Пределы и непрерывность функции нескольких переменных.
- •Занятие № 47. Частные производные и дифференциалы.
- •Занятие № 48. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Занятие № 49. Производная по направлению. Градиент.
- •6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Занятие № 53. Двойные интегралы.
- •Занятие № 55. Приложения двойного интеграла.
- •7. Ряды.
- •8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •19.1. A) ; б) ; в) ; г) . 19.2. А) ; б) ; в) ; г) . 19.3. А) четная; б) общего вида; в) нечетная.
- •27.4. Касательная , нормаль . 27.5.
- •Рекомендуемая литература
Занятие № 17. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
17.1. Найти точку пересечения прямой и плоскости
17.2. Найти проекцию точки М(1,0,-1) на прямую
17.3. Найти проекцию точки М(-1,-2,3) на прямую .
17.4. Найти проекцию точки М(1,1,1) на прямую, проходящую через точки
А(2,5,-3) и В(3,-2,2).
17.5. Найти проекцию точки М(5,2,-1) на плоскость .
17.6. Найти точку А, симметричную точке В(2,-5,7) относительно прямой, проходящей через точки (5, 4, 6) и (-2, -17, -8).
17.7. Найти точку А, симметричную точке B(1,2,3) относительно прямой:
17.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, 1) параллельно прямым и .
17.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .
17.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку Р(0, 0, 0).
17.11. Доказать, что прямые и лежат в одной плоскости и составить ее уравнение.
17.12. Найти уравнения прямой, проходящей через точку М(3,-2,4) параллельно плоскости и пересекающей прямую .
17.13. Написать канонические уравнения прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью Oyz.
17.14. Найти расстояние между прямыми и . Составить уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.
Занятие № 18. Поверхности в пространстве.
18.1. Определить тип поверхности второго порядка при различных значениях параметра k:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ; д) .
18.2. Составить уравнение сферы с центром в точке А(1,1,1) и радиусом .
18.3. Найти координаты центра А и радиус сферы R:
а) ;
б) .
18.4. Найти координаты центра поверхности и вершин, ее полуоси и уравнения плоскостей симметрии, оси симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат:
а) ;
б) .
18.5. Определить тип поверхности:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) .
18.6. Определить тип поверхности:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
2. Введение в математический анализ.
Занятие № 19.
Числовые функции и их свойства.
19.1. Найти область определения функции:
а) ; б) ;
в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ;
19.2. Найти множество значений функции
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ;
19.3. Исследовать на четность или нечетность следующие функции:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
19.4. Найти основной (наименьший) период функции или доказать ее непериодичность:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) .
19.5. Дана функция . Найти .
19.6. Исследовать функции на ограниченность:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ; з) .
19.7. Какие из следующих функций являются монотонными на множестве всех действительных чисел?
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
19.8. Какие из следующих функций являются обратимыми?
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
19.9. Построить график уравнения:
а) ; б) ; в) .
19.10. Доказать, что функция, обратная к возрастающей (убывающей), является возрастающей (убывающей).
Занятие № 20.
Элементарные преобразования графиков функций.
20.1. Используя элементарные преобразования, построить графики следующих функций:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
20.2. Построить графики следующих функций, заданных параметрически:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) .
20.3. Построить графики следующих кривых, заданных в полярной системе координат уравнениями:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
Занятие № 21.
Предел числовой последовательности.
21.1 Чему равен предел последовательности
21.2. Будет ли сходиться последовательность
?