Числовые характеристики
Первое, что приходит в голову при взгляде на распределение — вопрос «какое значение имеет наибольшую вероятность появления?». Эта характеристика распределения называется модой:
(4)
Далее познакомимся с такими числовыми характеристиками распределений как статистические моменты (обобщающие показатели, основанные на данных массового наблюдения). Статистическим моментом k-го порядка для непрерывной величины называется величина
(5)
Первый момент и центральные моменты со второго по четвертый имеют собственные названия и играют важную роль в обработке результатов эксперимента. Первый статистический момент называется математическим ожиданием и является средневзвешенным значением случайной величины.
(6)
Относительно него выравниваются центральные статистические моменты.
В случае если исследуемая функция распределения дискретна, математическое ожидание по определению совпадает со средним арифметическим всех значений функции (то есть вероятности всех событий равны:
(7)
Второй центральный момент носит название дисперсии. Обычно его интерпретируют как степень разброса значений вокруг мат. ожидания: чем больше дисперсия, тем дальше в среднем точки распределения будут находиться от «центра» распределения.
(8)
В случае если исследуемая функция распределения дискретнаa
(9)
Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины. Более наглядной характеристикой является среднее квадратическое отклонение
(10)
Третий центральный момент называют коэффициентом асимметрии
(11)
В случае дискретной функции распределения
(12)
При асимметричной функции распределения значения, находящиеся левее среднего, не будут компенсировать значения, находящиеся правее, что выразится в ненулевом значении коэффициента. Если он принимает отрицательное значение, то говорят, что распределение обладает отрицательной асимметрией и график смещен относительно среднего вправо. Если положительное — то положительной асимметрией, и график смещен влево (рис.4).
Рис.4. Положительная
и отрицательная асимметрия
Четвертый центральный момент — куртозис — используется для определения характеристики островершинности распределения, называемой эксцессом.
(13)
В случае дискретной функции распределения:
(14)
Рис.5. Распределения
с разными показателями эксцесса
Чем
эта характеристика больше, тем более
выражен пик в центре распределения и
тем тоньше его подножие. Тройка вычитается
для того, чтобы эксцесс особо часто
встречаемого распределения, называемого
нормальным, был равен нулю. Если эксцесс
больше нуля, то вершина будет выше
нормальной, если меньше нуля, то ниже.
Самым простым видом распределения
(точнее говоря, классом распределений)
является равномерное:
.
Этому закону подчиняются, например,
результаты бросаний монеты: орел или
решка.
Нормальное распределение
Для экспериментатора наиболее значимо распределение результатов измерений идеального физического эксперимента. Если величина не изменяется со временем, то результаты ее измерений всегда должны совпадать. Однако даже для идеального эксперимента было бы опрометчиво пренебречь посторонними воздействиями, оказывающими влияние. В любом реальном эксперименте такие воздействия есть, это могут быть колебания воздуха, изменения температуры и давления, постепенное старение образца, износ приборов и т.п. В идеальном эксперименте их можно учесть, расширив модель таким образом, что мы измеряем не только искомую величину, но и множество посторонних, каждая:
Случайна, имеет произвольный закон распределения.
Имеет среднее значение, равное нулю.
Значение, намного меньшее значения измеряемой величины.
Рис.6. Идеальный
эксперимент
Распределение, которому чаще всего соответствуют эмпирические распределения случайных величин в природе, является нормальным распределением или распределением Гаусса (закон Гаусса). Такое распределение имеет вполне конкретный вид и аналитическое выражение:
, (15)
где σ – среднеквадратичное отклонение, M – мат. ожидание. Оно выглядит как колокол с осью симметрии, проходящей через мат. ожидание.
В таком идеальном эксперименте все «посторонние» воздействия компенсируют друг друга, и среднее такого распределения совпадает с истинным значением измеряемой величины. Если же в реальном эксперименте результаты распрелелились близко к нормальному закону, то, скорее всего, измерялась более-менее постоянная величина и отсутствовали сильные внешние воздействия на процесс измерения. Впрочем, если в эксперименте присутствовала систематическая ошибка, например, в 10 сантиметрах линейки только 9 настоящих, или экспериментатор накидывал пару единиц к каждому результату, то статистический анализ не поможет это выявить, а итоговое распределение все равно может оказаться нормальным.
В отличие от эмпирических распределений, в которых все результаты независимы друг от друга, нормальное распределение полностью и однозначно задается любыми двумя своими точками или числовыми характеристиками. Обычно это среднее значение и среднеквадратичное отклонение.