Постановка задачи

Существует несколько способов измерения γ. В данной работе представлен способ оценки величины γ методом адиабатического расширения Клемана-Дезорма. Показатель адиабаты в данной работе определяется для воздуха, который на 96 % состоит из молекул двухатомного газа.

Описание установки

Баллон с распределительным краном, U- образный манометр, насос секундомер. Схема установки предоставлена на рис.1.

Рис.1. Схема экспериментальной установки

Установка состоит из стеклянного баллона Б, который может быть соединен с помощью распределительного крана К либо c атмосферой, либо с насосом и манометром М. Водяной U -образный манометр измеряет разность между давлением в баллоне и атмосферным давлением в мм. водного столба.

Вывод рабочей формулы

Для определения отношения теплоемкостей γ для газа, находящегося в баллоне, с ним проводят последовательность термодинамических процессов, представленных на P-V-диаграмме рис.2. Обозначим через P₀, V₀, T₀ исходные величины термодинамических параметров газа в баллоне.

Процесс 1-2 - в баллон накачивается воздух. При этом газ в баллоне сжимается и нагревается.

Процесс 2-3 – изохорическое остывание до начальной комнатной температуры Т₀. После остывания газ имеет давление Р₁.

Процесс 3-4 – краном К соединяют баллон с атмосферой. Газ адиабатически расширяясь, охлаждается, его давление падает до P₀, а температура – до величины Т₁<T₀.

Процесс 4-5 – кран К перекрывают (в момент достижения давления P₀) и газ изохорически нагревается до комнатной температуры. В конечном состоянии давление газа Р₂>Р₀, а температура равна Т₀. – это теоретически

Масса газа, находящегося в баллоне, в начальном состоянии выражается соотношением:

(16)

Нетрудно видеть, что в течение всех рассмотренных термодинамических процессов масса газа в баллоне больше или равна m₀.

Назовем массу m₀ рабочей массой газа, эта масса остается все время в баллоне. Накачиваемый и выпускаемый из баллона газ служит лишь для сжатия и расширения рабочей массы газа.

Введем обозначения и , причем ∆P₁ и ∆P₂<<P₀. Запишем уравнение для адиабатического расширения газа (кривая 3-4):

или .

Воспользовавшись формулой бинома Ньютона и ограничиваясь двумя членами, получим:

;

Учитывая, что точки 4 и 5 лежат на одной изохоре, т.е. , можно записать:

Тогда величина γ оценивается по формуле:

(17)

Измерив значения и , можно было бы рассчитать величину γ. Однако при таком методе расчета необходимо выполнение следующих условий:

1. При адиабатическом расширении кран баллона должен быть перекрыт в момент, когда давление в баллоне станет равным;

2. Время выпуска газа должно быть достаточно мало, так, чтобы теплообменом с окружающим воздухом можно было пренебречь.

Практически эти условия выполнить трудно, что приводит к ошибкам в определении и , и следовательно в оценке γ.

После открытия крана (процесс 3-4) давление в баллоне со временем уменьшается по экспоненциальному закону и через 0.1 секунды отличается от P₀ не более чем на 1%.

Однако вручную открыть кран на 0,1 секунды трудно, практически время это оказывается значительно больше. Рассмотрим влияние времени, в течение которого после достижения давления P₀ кран все еще остается открытым. Поэтому вместо процесса 4-5 имеют место:

Процесс 4-6 – после достижения давления Р₀ кран остается открытым еще некоторое время t, за это время за счет теплообмена со стенками баллона и расширения газа происходит изобарический нагрев газа.

Процесс 6-7 – после того, как кран закрывается (точка 6) происходит нагрев газа, давление в баллоне достигает величины (точка 7).

Точка 7 лежит на той же изотерме, что точки 3 и 5, но . Очевидно, что зависит от времени выхода газа из баллона, и значение γ, рассчитанное по формуле (17) будет иметь погрешность.

Рассмотрим детальнее процесс нагревания газа на участке 4-6. За счет теплопроводности через стенки баллона за время dt газ будет получать количество теплоты

,

где . Здесь Т - температура газа в баллоне, Т₀-температура окружающего воздуха, - коэффициент теплопроводности стекла, d и S толщина и площадь стенок баллона соответственно.

Уравнение баланса энергии для газа, находящегося в баллоне, может быть записано в виде:

(18)

Разделив переменные и подставив m из уравнения Менделеева-Клапейрона, получим:

или

Последнее выражение можно представить:

,

Его интегрирование дает:

,

где А постоянная интегрирования.

откуда

(19)

Обозначим температуру газа в баллоне в момент t=0 (точка 4) через Т₁, а Т₁- Т₀ через ∆Т₁, тогда постоянная интегрирования A будет равна .

Окончательно соотношение (19) примет вид:

, (20)

где учтено (16) и то обстоятельство, что в точке 4 газ занял весь предоставляемый ему объем, поэтому V=V₀, P=P₀

После того как в момент времени t кран K перекрывается, нагрев газа в баллоне также продолжается, но уже изохорически. Давление газа в конце концов достигает величины . Для изохорического процесса ( ) (участок 6-7) имеем:

или (21)

С другой стороны из уравнения адиабаты (участок 3-4) имеем

воспользуемся формулой бинома Ньютона, пренебрегая членами второго порядка малости:

или (22)

Решая совместно уравнения (20), (21), (22) и снова пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим:

(23)

Это уравнение учитывает как теплообмен с окружающей средой, так и уход части газа из баллона в процессе нагрева. Уравнение позволяет найти γ по измеренным при разных величинах t значениями и .

Прологарифмируем выражение (23)

(24)

График зависимости от t является линейной функцией. Если экстраполировать этот график по , то он будет отсекать на оси ординат отрезок

(25)

Потенцируя выражение (25) и преобразуя его, получим

(26)