3.4. Общая система уравнений гидромеханики [3] Из вышеизложенного следует, что движение сплошной среды, определяемые фундаментальными физическими законами описывается системой уравнений:

уравнение неразрывности:

(3.32)

уравнение сохранения количества движения:

(3.33)

уравнение сохранения энергии:

(3.34)

уравнением состояния:

. (3.35)

К системе дифференциальных уравнений добавляются условия однозначности и замыкающие зависимости.

Условия однозначности -

В качестве примера рассмотрим условия построения тепловой задачи.

Дифференциальное уравнение описывает множество явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества этих явлений выделить одно и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению теплопроводности необходимо добавить Условия однозначности, которые содержат геометрические, физические, временные и граничные условия.

Геометрические условия определяют форму и размеры тела, в котором протекает изучаемый процесс.

Физические условия задаются теплофизическим параметрами λ, с_v, и распределением внутренних источников теплоты.

Временные (начальные) условия содержат распределение температуры в теле в начальный момент времени.

Граничные условия определяют особенности протекания процесса на поверхности тела. Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничные условия I рода. В этом случае задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

.

- температура поверхности тела; координаты поверхности тела; - время.

Граничные условия II рода. В этом случае заданной является величина плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела в любой момент времени: .

Граничные условия III рода. В этом случае задаются температуры среды и условия теплообмена этой среды с поверхностью тела.

Для описания интенсивности теплообмена между поверхностью тела и средой используется гипотеза Ньютона - Рухмана, согласно которой:

.

Здесь - коэффициент теплоотдачи Вт/(м² К).

Количественно коэффициент теплоотдачи - количество теплоты, отдаваемая (или воспринимаемая) единицей поверхности при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус.

С учетом этого Граничные условия III рода запишется в виде:

Граничные условия IV рода формируются на основании равенства тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения тел:

При совершенном тепловом контакте оба тела на поверхности соприкосновения имеют одинаковую температуру.

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дает полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности. Решения может быть выполнено аналитически, численным или экспериментальным (подобий и аналогий) методами.

Замыкающие зависимости характеризуют возможное изменение свойств параметров моделируемого процесса от его физического состояния.

Например, изменение вязкости, теплоемкости от температуры , .

Построить замкнутую систему уравнений – значит построить математическую модель изучаемой сплошной среды.

При формулировке инженерных задач не следует стремится использовать сложных записей систем уравнений, описывающие все детали механического поведения тела под воздействием внешних сил. Наоборот, целесообразно выбрать простейшую математическую модель, которая отображала лишь самые существенные свойства. В противном случае решить задачу будет либо чрезвычайно сложно, либо вовсе невозможно.

В качестве примера рассмотрим математическую модель нестационарного движения вязкой жидкости (с возможным теплообменом).

За основу построения математической модели примем метод простейших гидродинамических элементов.

Метод широко применяется при моделировании нестационарных гидродинамических процессов в энергетических силовых установках. Данный метод позволяет описать физические процессы с помощью суммарных динамических характеристик, относящихся к осредненным по сечениям и объемам параметрам. По сравнению с классическими способами представления гидродинамических процессов с помощью уравнений в частных производных этот метод проще и менее трудоемок.

Сущность заключается в разбиении моделируемого объема сплошной среды на конечные элементы и непосредственном введении в модель исходных физических уравнений, описывающих движение и изменение состояния среды.

К достоинствам этого метода можно отнести следующие моменты: решение уравнений получают в абсолютных численных значениях; уменьшая размеры выделенных элементов (по аналогии с конечно-разностной аппроксимацией дифференциальных уравнений в частных производных), появляется возможность моделировать динамические процессы, описываемые общими нелинейными уравнениями гидродинамики; естественная приспособленность к стыковке распределенных и сосредоточенных элементов, что создает удобства при моделировании сложных систем с различными элементами и граничными условиями; применение метода возможно для описания гидродинамических процессов в искусственно выделяемых участках конструктивных элементов.

Моделируемая сплошная среда представляется в виде совокупности простейших гидродинамических элементов: активного сопротивления R, массы L и емкости С. Каждый из этих простейших элементов отражает одно определенное свойство моделируемой сплошной среды (вязкость, инерционность, сжимаемость) и описывается уравнением соответствующего фундаментального физического закона.

Композиции гидравлических элементов, соединенных между собой, представляют выделенный конечный элемент сплошной среды.

Схематическое изображение трех основных гидродинамических элементов приведено на рис 3.1.

а) б) в)

Рис. 3.1. Гидродинамические элементы и их обозначения

Элемент гидравлического сопротивления R (рис. 3.1, а) характеризует диссипативные потери энергии. Элемент гидравлической (акустической) массы L (рис. 3.1, б) характеризует свойство инерционности жидкости. Элемент емкости С (рис. 3.1, в) характеризует свойство сжимаемости среды.

В простом случае выделенный сечениями 1-1, 2-2 конечный элемент сплошной среды можно представить композицией элементов в виде цепочки типа R-L-С (рис. 3.2.).

Рис. 3.2. Конечный элемент типа R-L-С

Входными переменными такого элемента служат давление р₁ и расход на выходе G₂, выходными – расход G₁, и давление р₂.

Выделенный участок может быть представлен в виде совокупности конечных элементов (рис 3.3).

Рис. 3.3. Модель гидравлического участка

Данный подход позволяет рассматривать процессы, происходящие в сосредоточенных точках, и описывать их системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для выделенного сечениями 1 -1 и 2-2 участка гидравлической магистрали уравнение, отражающее закон сохранения количества движения, можно представить в виде:

, (3.36)

здесь - перепад давления на рассматриваемом участке;

условие неразрывности течения описывается уравнением:

, (3.37)

где  - разность притекающих и вытекающих из элемента массовых расходов жидкости; замыкающее уравнение характеризует диссипативные потери энергии:

. (3.38)

Расчетная схема трубопроводного участка

Используя, изложенный подход, участок трубы можно представить в виде композиции простейших гидродинамических элементов R-L-С. В зависимости от геометрии канала, а также целей и задач работы, возможны различные варианты построения и последовательность расположения этих элементов. Так как характерными параметрами являются гидродинамические характеристики - давление и массовый расход жидкости, то расчетную схему участка трубы можно представить в виде гидродинамической схемы.

Примем, что трубопроводный участок постоянного сечения представлен в виде совокупности простейших гидродинамических элементов L-C-R (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Гидродинамическая схема участка трубы

В предложенной схеме входными параметрами являются давление и расход на входе в выделенный участок. Дифференциальные уравнения записываются через искомые выходные параметры - давление и расход .

Расчетная гидродинамическая схема участка не позволяет учесть процессы, связанные с переносом тепловой энергии. В связи с этим дополним ее тепловой схемой.

На рис. 3.5 приведены тепловые схемы обогреваемого (а) и необогреваемого (б) трубопроводного участка при условии, что стенка переставлена в виде одного слоя, а участок трубы - в виде одного набора гидродинамических элементов.

а) б)

Рис. 3.5. Тепловая схема участка трубы

Уравнения трубопроводного участка

Уравнение сохранения количества движения теплоносителя на участке трубы можно записать через массовый расход на выходе, а уравнение неразрывности - через давление на выходе:

, (3.39)

где ; ;

, (3.40)

где .

Элемент гидравлического сопротивления (активное сопротивление) характеризует диссипативные потери энергии при движении жидкости по участку трубы.

При наличии на выделенном участке нескольких местных сопротивлений, наряду с путевыми потерями, активное сопротивление можно определить так:

, (3.41)

здесь: , - соответственно количества местных сопротивлений и гидравлических участков.

Коэффициент гидравлического сопротивления участка трубы определяется в общем случае как

. (3.42)

Выражение для активного сопротивления при ламинарном режиме течения при примет вид:

. (3.43)

В гидравлических расчетах теплообменных аппаратов для турбулентного течения однофазной жидкости гидравлический коэффициент трения определяют по формуле Никурадзе:

. (3.44)

Удовлетворительные результаты можно получить как при ламинарном, так и при турбулентном режиме течения, используя формулу Филоненко - Альтшуля:

. (3.45)

Для гладких прямых участков при ламинарном неизотермическом течении, для круглого поперечного сечения канала, можно определить по формуле:

; (3.46)

при турбулентном неизотермическом потоке:

. (3.47)

Коэффициент гидравлической массы (индуктивное сопротивление) характеризует инерционные свойства жидкости. Для цилиндрических элементов (труб) индуктивное сопротивление определится как

. (3.48)

Для изогнутого участка индуктивное сопротивление L можно представить как сумму коэффициентов индуктивности, первый из которых связан с длиной участка вдоль оси , а второй - с кривизной течения , т. е:

. (3.49)

E.G. Jackson приводит значения зависимости для в случае скругленного и углового поворотов трубы (рис. 3.6).

а) б)

Рис. 3.6. Зависимость инерции трубы от кривизны: ○ – скругленный поворот (а); ▲ – угловой поворот (б).

Коэффициент гидравлической емкости (емкостное сопротивление) характеризует свойство сжимаемости жидкости. В общем случае он определится как

. (3.50)

Податливость трубопровода учитывается подстановкой в выражение (3.50) эффективного значения скорости звука в рабочей среде, вычисленной с учетом модулей упругости жидкости и стенок трубы. Выражение для определения эффективной скорости звука имеет вид:

. (3.51)

Аналогичное выражение для определения емкостного сопротивления можно записать как

. (3.52)

Здесь значение эффективного модуля упругости находится по формуле Н.Е. Жуковского:

. (3.53)

Коэффициент акустической формы для тонкостенной цилиндрической трубы определиться как:

. (3.54)

Уравнение энергии запишем по аналогии с уравнениями движения и неразрывности:

, (3.55)

где - тепловой поток; - энтальпия теплоносителя; - тепловая емкость жидкости; - тепловой поток, подводимый к жидкости, и отводимый от нее.

Количество теплоты, переданное от внутренней поверхности стенки к жидкости и от жидкости к стенке, определяется через известную зависимость

, (3.56)

где при нагреве ; при охлаждении , .

В качестве уравнения состояния для капельной жидкости можно записать выражение, характеризующее изменение плотности под влиянием температуры:

. (3.57)

Здесь - изменение температуры жидкости на выделенном участке трубы в единицу времени.