- •Основные условные обозначения в математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Основы теории вероятностей
- •1Предмет и метод математической статистики
- •2Понятие случайного события
- •3Вероятность случайного события
- •4Основные теоремы теории вероятностей
- •4.1Сложение вероятностей
- •4.2Умножение вероятностей
- •4.3Вычисление вероятностей
- •Случайные переменные
- •5Понятие случайной переменной
- •5.1Дискретные случайные переменные
- •5.2Непрерывные случайные переменные
- •6Математическое ожидание и дисперсия
- •7Моменты
- •Дискретные распределения
- •8Биномиальное распределение и измерение вероятностей
- •9Распределение редких событий (Пуассона)
- •Основные модели теоретических распределений
- •10Прямоугольное (равномерное) распределение
- •11Нормальное распределение
- •12Логарифмически нормальное распределение
- •Распределения параметров выборки
- •13.1Проблема Беренса–Фишера
- •15Χ2–распределение
- •Основы математической статистики
- •16Средние величины
- •16.1Общие свойства средних величин
- •17Средняя арифметическая
- •17.1Средний ранг (непараметрическая средняя)
- •17.2Взвешенная средняя арифметическая
- •17.3Средняя квадратическая
- •17.4Мода
- •17.5Медиана
- •18Средняя геометрическая
- •19Средняя гармоническая
- •Разнообразие значений признака
- •20Стандартное (среднеквадратическое) отклонение
- •20.1Число степеней свободы
- •20.2Коэффициент вариации
- •20.3Лимиты и размах
- •20.4Приближенные значения μ и
- •20.5Нормированное отклонение
- •21Проверка выпадов (артефактов)
- •22Средняя и сигма суммарной группы
- •23Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
- •Графическое представление распределений
- •24Вариационный ряд
- •25Гистограмма и вариационная кривая
- •26Кумулята
- •27Достоверность различия распределений
- •27.1Критерий χ2 (хи квадрат)
- •27.2Критерий λ (лямбда)
- •27.3Критерий по асимметрии и эксцессу
- •Нормальное распределение
- •28Генеральная совокупность и выборка
- •29Репрезентативность
- •30Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
- •31Доверительные границы
- •Оценка генеральных параметров
- •32Общий порядок оценки
- •32.1Оценка средней арифметической
- •32.2Оценка средней разности
- •32.3Недостоверная и достоверная оценка средней разности
- •32.4Оценка разности генеральных средних
- •33Критерий достоверности разности
- •34Репрезентативность при изучении качественных признаков
- •35Достоверность разности долей
- •Парная корреляция
- •36Коэффициент корреляции
- •37Ошибка коэффициента корреляции
- •37.1Достоверность выборочного коэффициента корреляции
- •37.2Доверительные границы коэффициента корреляции
- •37.3Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
- •38Уравнение прямолинейной регрессии
- •39Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
- •Частная и множественная линейные корреляции и регрессии
- •40Частный коэффициент корреляции
- •41Множественный коэффициент корреляции
- •42Линейное уравнение множественной регрессии
- •Криволинейная корреляция и регрессия
- •43Корреляционное отношение
- •44Свойства корреляционного отношения
- •45Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
- •46Критерий линейности корреляции
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •47Сущность и метод дисперсионного анализа
- •47.1Результативный признак
- •47.2Фактор
- •47.3Градации факторов
- •47.4Градации комплекса
- •47.5Дисперсионный комплекс
- •47.6Статистические влияния
- •47.7Факториальное влияние
- •47.8Случайное влияние
- •47.9Общее влияние
- •48Однофакторный дисперсионный комплекс
- •Многофакторный дисперсионный анализ
- •49Многофакторный дисперсионный комплекс
- •50Преобразования
- •51Универсальное использование дисперсий
- •51.1Показатели силы влияний
- •51.2Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
- •51.3Предельные значения показателей силы влияния
- •51.4Достоверность влияний
- •Классификация
- •52Дискриминантный анализ
- •52.1Постановка задачи, методы решения, ограничения
- •52.2Предположения и ограничения
- •52.3Алгоритм дискриминантного анализа
- •53Кластерный анализ
- •53.1Методы кластерного анализа
- •53.2Алгоритм кластерного анализа
- •Литература
- •Приложение. Основные формулы и определения
- •2 46019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
9Распределение редких событий (Пуассона)
Когда вероятности альтернатив неравны, т. е. р ≠ q, биномиальное распределение асимметрично. При очень малой вероятности ожидаемого события, исчисляемой сотыми или тысячными долями единицы, по сравнению с вероятностью q противоположного события распределение вероятности или частоты таких событий описывается формулой Пуассона.
Модель такого распределения получают на основе независимых испытаний при постоянной вероятности р наступления некоторого случайного события X.
Как известно, вероятность того, что в n испытаниях случайное событие наступит равно m раз, определяется формулой, выражающей функцию распределения вероятностей для биномиального распределения.
Примем теперь дополнительные условия, а именно, что вероятность р наступления случайного события в единичном испытании весьма мала, но число испытаний n весьма велико, n , а произведение nр (обозначим его λ) – число постоянное и не очень большое.
При таких дополнительных условиях на основе формулы биноминального распределения получим следующее выражение для распределения вероятностей случайной переменной X:
(3.3)
где: λ = np; р = λ/n.
Так как числитель первой дроби имеет m сомножителей, а в знаменателе стоит nm, каждый из сомножителей можно разделить на n. Получим:
(3.4)
При n предел любой дроби (1 – λ/n) = 1,
а предел (1 – λ/n)n-m =e-λ
При этих условиях:
(3.5)
Выражение (3.5) называется функцией распределения вероятностей в распределении Пуассона.
В этом выражении m – частота ожидаемого события в n испытаниях, е = 2,7183; параметр λ = nр равен математическому ожиданию или наиболее вероятной частоте события, , а также дисперсии .
Для практических расчетов, когда находят теоретические ординаты распределения n, т. е. численности распределения случайного события X, выражение (3.5) умножают на N – общее число наблюдений, вместо принимают экспериментальное среднее число наблюдаемых случаев. Формула для n будет:
(3.6)
Распределение Пуассона с возрастанием средней X приближается к биномиальному. Распределение Пуассона описывает многие явления в технике и биологии. В технике оно находит широкое применение при контроле качества продукции, для аппроксимации распределения дефектных изделий. В биологии оно применяется как модель распределения числа семян сорняков – примесей в пробных навесках при анализе семян, поврежденных вредителем. Оно описывает также распределение численности возобновления, когда размер элементарных учетных площадок очень мал или условия заселения, площади неблагоприятны, так что вероятность благоприятного исхода р мала.
Вопросы для самоконтроля
Что такое биномиальная кривая распределения? Какая общая формула является основой для биномиального распределения?
Для анализа какого вида случайных переменных используются биномиальное распределение и распределение Пуассона?
Что такое n в биноме (р + q)n?
Какими параметрами характеризуется биномиальное распределение?
Является ли биномиальное распределение дискретным или непрерывным?
Чем отличается распределение Пуассона от биномиального?
Какие параметры биномиального распределения можно получить с помощью треугольника Паскаля и формулы Я. Бернулли?
При каких условиях предпочтительнее применять распределение Пуассона?
При каких условиях распределение Пуассона приближается к биномиальному?
Какими параметрами характеризуется распределение Пуассона?
Что означают максимальное значение и крайние левые и правые значения на графике кривой биномиального распределения?