- •Основные условные обозначения в математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Основы теории вероятностей
- •1Предмет и метод математической статистики
- •2Понятие случайного события
- •3Вероятность случайного события
- •4Основные теоремы теории вероятностей
- •4.1Сложение вероятностей
- •4.2Умножение вероятностей
- •4.3Вычисление вероятностей
- •Случайные переменные
- •5Понятие случайной переменной
- •5.1Дискретные случайные переменные
- •5.2Непрерывные случайные переменные
- •6Математическое ожидание и дисперсия
- •7Моменты
- •Дискретные распределения
- •8Биномиальное распределение и измерение вероятностей
- •9Распределение редких событий (Пуассона)
- •Основные модели теоретических распределений
- •10Прямоугольное (равномерное) распределение
- •11Нормальное распределение
- •12Логарифмически нормальное распределение
- •Распределения параметров выборки
- •13.1Проблема Беренса–Фишера
- •15Χ2–распределение
- •Основы математической статистики
- •16Средние величины
- •16.1Общие свойства средних величин
- •17Средняя арифметическая
- •17.1Средний ранг (непараметрическая средняя)
- •17.2Взвешенная средняя арифметическая
- •17.3Средняя квадратическая
- •17.4Мода
- •17.5Медиана
- •18Средняя геометрическая
- •19Средняя гармоническая
- •Разнообразие значений признака
- •20Стандартное (среднеквадратическое) отклонение
- •20.1Число степеней свободы
- •20.2Коэффициент вариации
- •20.3Лимиты и размах
- •20.4Приближенные значения μ и
- •20.5Нормированное отклонение
- •21Проверка выпадов (артефактов)
- •22Средняя и сигма суммарной группы
- •23Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
- •Графическое представление распределений
- •24Вариационный ряд
- •25Гистограмма и вариационная кривая
- •26Кумулята
- •27Достоверность различия распределений
- •27.1Критерий χ2 (хи квадрат)
- •27.2Критерий λ (лямбда)
- •27.3Критерий по асимметрии и эксцессу
- •Нормальное распределение
- •28Генеральная совокупность и выборка
- •29Репрезентативность
- •30Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
- •31Доверительные границы
- •Оценка генеральных параметров
- •32Общий порядок оценки
- •32.1Оценка средней арифметической
- •32.2Оценка средней разности
- •32.3Недостоверная и достоверная оценка средней разности
- •32.4Оценка разности генеральных средних
- •33Критерий достоверности разности
- •34Репрезентативность при изучении качественных признаков
- •35Достоверность разности долей
- •Парная корреляция
- •36Коэффициент корреляции
- •37Ошибка коэффициента корреляции
- •37.1Достоверность выборочного коэффициента корреляции
- •37.2Доверительные границы коэффициента корреляции
- •37.3Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
- •38Уравнение прямолинейной регрессии
- •39Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
- •Частная и множественная линейные корреляции и регрессии
- •40Частный коэффициент корреляции
- •41Множественный коэффициент корреляции
- •42Линейное уравнение множественной регрессии
- •Криволинейная корреляция и регрессия
- •43Корреляционное отношение
- •44Свойства корреляционного отношения
- •45Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
- •46Критерий линейности корреляции
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •47Сущность и метод дисперсионного анализа
- •47.1Результативный признак
- •47.2Фактор
- •47.3Градации факторов
- •47.4Градации комплекса
- •47.5Дисперсионный комплекс
- •47.6Статистические влияния
- •47.7Факториальное влияние
- •47.8Случайное влияние
- •47.9Общее влияние
- •48Однофакторный дисперсионный комплекс
- •Многофакторный дисперсионный анализ
- •49Многофакторный дисперсионный комплекс
- •50Преобразования
- •51Универсальное использование дисперсий
- •51.1Показатели силы влияний
- •51.2Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
- •51.3Предельные значения показателей силы влияния
- •51.4Достоверность влияний
- •Классификация
- •52Дискриминантный анализ
- •52.1Постановка задачи, методы решения, ограничения
- •52.2Предположения и ограничения
- •52.3Алгоритм дискриминантного анализа
- •53Кластерный анализ
- •53.1Методы кластерного анализа
- •53.2Алгоритм кластерного анализа
- •Литература
- •Приложение. Основные формулы и определения
- •2 46019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
3Вероятность случайного события
Числовая характеристика случайного события, обладающая тем свойством, что для любой достаточно большой серии испытаний частота события лишь незначительно отличается от этой характеристики, называется вероятностью события.
Из этого рассмотрения устанавливаем, что вероятность является тем теоретическим пределом, к которому стремится частота событий при увеличении числа испытаний. Вероятность – идеальное выражение частоты событий.
Данное определение вероятности называется статистическим. Это определение не является достаточно строгим с точки зрения математики. По статистическому определению трудно изучать свойства вероятности.
Однако имеется и ряд положительных его свойств. Статистический подход позволяет находить вероятности событий, структура которых неизвестна. Например, только статистический подход позволил определить вероятность рождения мальчиков, равную 0,52 и девочек – 0,48.
Существуют два других, более удобных с формальной точки зрения, определения вероятности: классическое и геометрическое. Однако для них требуется знать структуру рассматриваемых событий.
Понятие о геометрическом определении вероятности можно получить из следующего примера испытаний.
Предположим, в некотором квадрате случайным образом выбирается точка. Какова вероятность, что она окажется в области D (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Иллюстрация понятия геометрической вероятности
Очевидно, что вероятность эта будет тем большей, чем больше область D. В качестве мерила вероятности выступает здесь площадь. Вероятность того, что случайная точка попадет в область D (осуществление события D) равна: p(D )= SD/S , где SD – площадь области D; S – площадь всего квадрата.
Геометрическое определение вероятности пригодно не только для плоскости, но и для прямой или пространства.
В первом случае основой для определения вероятности служит некоторый отрезок, а случайным событиям соответствуют его части. Вероятность вычисляется как отношение длины частей к общей длине отрезка. Во втором, случае основой к испытанию принимают некоторый куб, случайным событиям соответствуют различные тела, расположенные в кубе. Вероятность вычисляют как отношение объемов тел к объему куба.
Наибольший интерес представляет классическое определение вероятности. С этим определением связаны основные теоремы теории вероятностей.
Вероятность здесь определяется априори, до испытаний, исходя из определенной структуры случайных событий, т. е. из разбивки на равновозможные исходы.
Пусть при подбрасывании монеты появления герба или цифры будут изучаемыми событиями а и b. Причем, если при одном бросании произойдет событие а, то не произойдет другого события b. Такие события называют несовместными. Каждое из событий называют исходом испытания. В силу равновозможности исходов в нашем испытании вероятность каждого события равна. При единичном бросании кубика с 6 гранями (имеющими, например, 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков), вероятность появления любой одной грани p = 1/6.
Исходы испытания являются простейшими случайными событиями. Можно рассматривать более сложные события, объединяющие несколько исходов. Например, при бросании игрального кубика мы можем интересоваться таким событием, как выпадение числа очков больше 2. В таком случае говорят, что появлению события с выпадением больше двух очков, т. е. с 3, 4, 5 и 6 очками, благоприятствуют четыре исхода из шести. Вероятность этого события p = 4/6. Таким образом, мы подошли к классическому определению вероятности. Вероятностью случайного события называется отношение числа отходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных исходов.