- •Основные условные обозначения в математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Основы теории вероятностей
- •1Предмет и метод математической статистики
- •2Понятие случайного события
- •3Вероятность случайного события
- •4Основные теоремы теории вероятностей
- •4.1Сложение вероятностей
- •4.2Умножение вероятностей
- •4.3Вычисление вероятностей
- •Случайные переменные
- •5Понятие случайной переменной
- •5.1Дискретные случайные переменные
- •5.2Непрерывные случайные переменные
- •6Математическое ожидание и дисперсия
- •7Моменты
- •Дискретные распределения
- •8Биномиальное распределение и измерение вероятностей
- •9Распределение редких событий (Пуассона)
- •Основные модели теоретических распределений
- •10Прямоугольное (равномерное) распределение
- •11Нормальное распределение
- •12Логарифмически нормальное распределение
- •Распределения параметров выборки
- •13.1Проблема Беренса–Фишера
- •15Χ2–распределение
- •Основы математической статистики
- •16Средние величины
- •16.1Общие свойства средних величин
- •17Средняя арифметическая
- •17.1Средний ранг (непараметрическая средняя)
- •17.2Взвешенная средняя арифметическая
- •17.3Средняя квадратическая
- •17.4Мода
- •17.5Медиана
- •18Средняя геометрическая
- •19Средняя гармоническая
- •Разнообразие значений признака
- •20Стандартное (среднеквадратическое) отклонение
- •20.1Число степеней свободы
- •20.2Коэффициент вариации
- •20.3Лимиты и размах
- •20.4Приближенные значения μ и
- •20.5Нормированное отклонение
- •21Проверка выпадов (артефактов)
- •22Средняя и сигма суммарной группы
- •23Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
- •Графическое представление распределений
- •24Вариационный ряд
- •25Гистограмма и вариационная кривая
- •26Кумулята
- •27Достоверность различия распределений
- •27.1Критерий χ2 (хи квадрат)
- •27.2Критерий λ (лямбда)
- •27.3Критерий по асимметрии и эксцессу
- •Нормальное распределение
- •28Генеральная совокупность и выборка
- •29Репрезентативность
- •30Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
- •31Доверительные границы
- •Оценка генеральных параметров
- •32Общий порядок оценки
- •32.1Оценка средней арифметической
- •32.2Оценка средней разности
- •32.3Недостоверная и достоверная оценка средней разности
- •32.4Оценка разности генеральных средних
- •33Критерий достоверности разности
- •34Репрезентативность при изучении качественных признаков
- •35Достоверность разности долей
- •Парная корреляция
- •36Коэффициент корреляции
- •37Ошибка коэффициента корреляции
- •37.1Достоверность выборочного коэффициента корреляции
- •37.2Доверительные границы коэффициента корреляции
- •37.3Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
- •38Уравнение прямолинейной регрессии
- •39Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
- •Частная и множественная линейные корреляции и регрессии
- •40Частный коэффициент корреляции
- •41Множественный коэффициент корреляции
- •42Линейное уравнение множественной регрессии
- •Криволинейная корреляция и регрессия
- •43Корреляционное отношение
- •44Свойства корреляционного отношения
- •45Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
- •46Критерий линейности корреляции
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •47Сущность и метод дисперсионного анализа
- •47.1Результативный признак
- •47.2Фактор
- •47.3Градации факторов
- •47.4Градации комплекса
- •47.5Дисперсионный комплекс
- •47.6Статистические влияния
- •47.7Факториальное влияние
- •47.8Случайное влияние
- •47.9Общее влияние
- •48Однофакторный дисперсионный комплекс
- •Многофакторный дисперсионный анализ
- •49Многофакторный дисперсионный комплекс
- •50Преобразования
- •51Универсальное использование дисперсий
- •51.1Показатели силы влияний
- •51.2Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
- •51.3Предельные значения показателей силы влияния
- •51.4Достоверность влияний
- •Классификация
- •52Дискриминантный анализ
- •52.1Постановка задачи, методы решения, ограничения
- •52.2Предположения и ограничения
- •52.3Алгоритм дискриминантного анализа
- •53Кластерный анализ
- •53.1Методы кластерного анализа
- •53.2Алгоритм кластерного анализа
- •Литература
- •Приложение. Основные формулы и определения
- •2 46019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
18Средняя геометрическая
Чтобы получить среднюю геометрическую для группы с n данными, нужно все варианты перемножить и из полученного произведения извлечь корень n-й степени:
, (6.8)
где:
G – средняя геометрическая;
n – число значений;
ΠXn – произведение вариантов.
Например, средняя геометрическая из 12 и 3 будет равна:
.
Если число значений больше двух, то извлечение корня n-й степени затруднительно, поэтому обычно значение средней геометрической находят путем логарифмирования величин, входящих в основную формулу:
. (6.9)
Например, для вариантов 1; 4; 5; 5; 5 среднюю геометрическую можно получить следующим образом:
;
;
G = 3,465.
Для проверки правильности вычисления средней геометрической можно использовать принцип единства суммарного действия. Произведение всех пяти значений ( ) равно произведению пяти выровненных значений, равных средней геометрической:
.
Это значит, что средняя в данном случае рассчитана правильно.
Применяется средняя геометрическая во всех случаях, когда необходимо узнать или планировать средние приросты за определенный период. При расчетах среднего попериодного прироста возможны два способа применения средней геометрической.
Первый способ применяется, когда имеются сведения о приростах за каждый период, выраженных в процентах или долях от начала каждого периода. В таких случаях расчет среднего прироста ведется по формуле:
, (6.10)
где:
х – средний попериодный прирост за ряд периодов равной продолжительности;
а – фактический прирост за тот или иной период, выраженный в долях;
n – число периодов;
Π(1+а) – произведение величин (1+а).
Из этой формулы следует, что для нахождения среднего прироста по первому способу нужно долю фактического прироста за каждый период прибавить к единице, полученные величины (1+а) перемножить, из их произведения извлечь корень n-й степени и вычесть единицу.
Если периодов много (n > 2), то извлечение корня надо проводить логарифмированием:
. (6.11)
По этой формуле находят логарифмы средней геометрической из величин (1+a), затем находится сама величина G(1+a) и вычитанием из нее единицы получается искомая средняя доля прироста.
Пример
Поголовье бобров в заповеднике увеличилось за первый год на 5%, за второй – на 20%, за третий – на 50% и за четвертый – на 50%, считая каждый раз от начала истекшего года. Требуется определить среднегодовой прирост за эти 4 года.
Необходимые расчеты приведены в таблице 6.4.
Таблица 6.4 – Расчет среднегодового прироста
Годы |
Фактический прирост за каждый год |
l + a |
lg(l + a) |
|
|
% |
доля |
||||
1 |
5 |
0,05 |
1,05 |
0,021 |
|
2 |
20 |
0,20 |
1,20 |
0,079 |
|
3 |
50 |
0,50 |
1,50 |
0,176 |
|
4 |
50 |
0,50 |
1,50 |
0,176 |
Второй способ расчета средних приростов применяется в тех случаях, когда имеются данные об абсолютных количествах объектов на начало и конец общего большого периода и требуется рассчитать средний прирост за более мелкие периоды.
В таких случаях средний прирост рассчитывается по формуле:
. (6.12)
При логарифмировании получаем:
, (6.13)
где:
х – средний прирост за более мелкие периоды: среднегодовой за пятилетку, среднемесячный за год, среднесуточный за месяц и т. д.;
Аn – количество объектов на конец общего периода, или, что то же самое, на конец последнего n-го мелкого периода;
А1 – количество объектов на начало исследуемого общего периода, или, что то же самое, на начало первого мелкого периода.
Пример
На пасеке на начало пятилетки было 100 ульев, а к концу стало 140. Определить среднегодовой процент увеличения пасеки за эту пятилетку. Применяя указанную формулу, получим:
;
x + 1 = 1,0697, x = 0,0697 или 6,97%
Пример
Запланировано за пять лет увеличить производство пенициллина на 60%. Требуется распределить это задание равномерно по годам. В данном случае не даны абсолютные количества в начале и в конце общего периода, но дан общий процент прироста за весь период – 60%, что дает возможность легко получить требуемое отношение . Объем продукции должен увеличиться на 60%. Это значит, что на каждые 100 единиц, бывших в начале общего периода, должно быть 160 единиц в конце:
An = 160, A1 = 100,
Для выполнения такого задания среднегодовой прирост производства пенициллина можно запланировать следующим образом:
;
х +1 = 1,0985, х = 0,0985, или 9,85 %.
Оказалось, что для увеличения производства за пятилетку на 60% достаточно обеспечить среднегодовой прирост на 9,85%, а не на , как это могло показаться без учета того, что средний прирост образуется по принципу средней геометрической, а не средней арифметической.