- •Основные условные обозначения в математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Основы теории вероятностей
- •1Предмет и метод математической статистики
- •2Понятие случайного события
- •3Вероятность случайного события
- •4Основные теоремы теории вероятностей
- •4.1Сложение вероятностей
- •4.2Умножение вероятностей
- •4.3Вычисление вероятностей
- •Случайные переменные
- •5Понятие случайной переменной
- •5.1Дискретные случайные переменные
- •5.2Непрерывные случайные переменные
- •6Математическое ожидание и дисперсия
- •7Моменты
- •Дискретные распределения
- •8Биномиальное распределение и измерение вероятностей
- •9Распределение редких событий (Пуассона)
- •Основные модели теоретических распределений
- •10Прямоугольное (равномерное) распределение
- •11Нормальное распределение
- •12Логарифмически нормальное распределение
- •Распределения параметров выборки
- •13.1Проблема Беренса–Фишера
- •15Χ2–распределение
- •Основы математической статистики
- •16Средние величины
- •16.1Общие свойства средних величин
- •17Средняя арифметическая
- •17.1Средний ранг (непараметрическая средняя)
- •17.2Взвешенная средняя арифметическая
- •17.3Средняя квадратическая
- •17.4Мода
- •17.5Медиана
- •18Средняя геометрическая
- •19Средняя гармоническая
- •Разнообразие значений признака
- •20Стандартное (среднеквадратическое) отклонение
- •20.1Число степеней свободы
- •20.2Коэффициент вариации
- •20.3Лимиты и размах
- •20.4Приближенные значения μ и
- •20.5Нормированное отклонение
- •21Проверка выпадов (артефактов)
- •22Средняя и сигма суммарной группы
- •23Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
- •Графическое представление распределений
- •24Вариационный ряд
- •25Гистограмма и вариационная кривая
- •26Кумулята
- •27Достоверность различия распределений
- •27.1Критерий χ2 (хи квадрат)
- •27.2Критерий λ (лямбда)
- •27.3Критерий по асимметрии и эксцессу
- •Нормальное распределение
- •28Генеральная совокупность и выборка
- •29Репрезентативность
- •30Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
- •31Доверительные границы
- •Оценка генеральных параметров
- •32Общий порядок оценки
- •32.1Оценка средней арифметической
- •32.2Оценка средней разности
- •32.3Недостоверная и достоверная оценка средней разности
- •32.4Оценка разности генеральных средних
- •33Критерий достоверности разности
- •34Репрезентативность при изучении качественных признаков
- •35Достоверность разности долей
- •Парная корреляция
- •36Коэффициент корреляции
- •37Ошибка коэффициента корреляции
- •37.1Достоверность выборочного коэффициента корреляции
- •37.2Доверительные границы коэффициента корреляции
- •37.3Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
- •38Уравнение прямолинейной регрессии
- •39Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
- •Частная и множественная линейные корреляции и регрессии
- •40Частный коэффициент корреляции
- •41Множественный коэффициент корреляции
- •42Линейное уравнение множественной регрессии
- •Криволинейная корреляция и регрессия
- •43Корреляционное отношение
- •44Свойства корреляционного отношения
- •45Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
- •46Критерий линейности корреляции
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •47Сущность и метод дисперсионного анализа
- •47.1Результативный признак
- •47.2Фактор
- •47.3Градации факторов
- •47.4Градации комплекса
- •47.5Дисперсионный комплекс
- •47.6Статистические влияния
- •47.7Факториальное влияние
- •47.8Случайное влияние
- •47.9Общее влияние
- •48Однофакторный дисперсионный комплекс
- •Многофакторный дисперсионный анализ
- •49Многофакторный дисперсионный комплекс
- •50Преобразования
- •51Универсальное использование дисперсий
- •51.1Показатели силы влияний
- •51.2Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
- •51.3Предельные значения показателей силы влияния
- •51.4Достоверность влияний
- •Классификация
- •52Дискриминантный анализ
- •52.1Постановка задачи, методы решения, ограничения
- •52.2Предположения и ограничения
- •52.3Алгоритм дискриминантного анализа
- •53Кластерный анализ
- •53.1Методы кластерного анализа
- •53.2Алгоритм кластерного анализа
- •Литература
- •Приложение. Основные формулы и определения
- •2 46019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
39Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
В уравнении простой прямолинейной регрессии:
у = а + bх
возникают три ошибки репрезентативности.
Ошибка коэффициента регрессии:
(11.20)
Ошибка уравнения регрессии, т. е. ошибка средней величины функции для каждого значения аргумента:
(11.21)
По данным вышеприведенного примера:
Следовательно, максимальная погрешность в определении уровня точек линии регрессии при первом пороге вероятности безошибочных прогнозов (1 = 0,95, t1=2,0) будет равна:
= t = 20,62 кг = ± 1,24 кг.
Ошибка индивидуальных определений функции:
(11.22)
Для вышеприведенного примера:
.
Следовательно, индивидуальная погрешность в определении веса лошадей по обхвату груди по найденной формуле регрессии, принимая первый порог вероятности безошибочных прогнозов (β1 = 0,95, t1 = 2,0), в крайних случаях не будет превышать = 226 кг = ± 52 кг.
Вопросы для самоконтроля
Что такое корреляция?
Какая разница между корреляционной и функциональной зависимостями?
Какая разница между положительной и отрицательной корреляциями?
Коэффициент корреляции как мерило сопряженности в вариации признаков. Его определение с помощью двух нормированных отклонений.
В чем заключаются важнейшие свойства среднего произведения двух нормированных отклонений?
Напишите общую формулу для вычисления коэффициента корреляции.
Что такое корреляционная, решетка? Объясните, как она строится. Можно ли судить о характере корреляции по расположению данных в корреляционной решетке?
Каковы возможные значения коэффициента корреляции? Какие значения коэффициента корреляции следует считать высокими, средними и почему?
Всегда ли при r = 0 корреляционная связь отсутствует?
Чему равен коэффициент корреляции при полной корреляционной связи?
Напишите обычную формулу ошибки коэффициента корреляции.
Является ли наличие корреляции доказательством причинной зависимости между изучаемыми варьирующими признаками?
Напишите формулу достоверности выборочного коэффициента корреляции.
Дайте определение доверительных границ коэффициента корреляции.
Дайте определение достоверности разности двух коэффициентов корреляции.
Что такое регрессия?
Под каким углом пересекаются эмпирические линии регрессии при слабой корреляции? При сильной корреляции?
Напишите уравнение регрессии в общем виде; в виде уравнения прямой.
Напишите систему двух уравнений для определения значений а и b в уравнении у = а + bх.
Дайте определение и формализацию коэффициента регрессии.
Что выражает уравнение регрессии х по у и уравнение регрессии у по х?
Чему равен тангенс угла между линией регрессии и осью х?
Может ли коэффициент регрессии быть равным коэффициенту корреляции?
Перечислите ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии.
Частная и множественная линейные корреляции и регрессии
12.1 Частный коэффициент корреляции
12.2 Множественный коэффициент корреляции
12.3 Линейное уравнение множественной регрессии
Корреляция называется множественной, если на величину результативного признака одновременно влияют несколько факториальных.
Наиболее простой формой множественной связи является линейная зависимость между тремя признаками, когда один из них, например, урожай, рассматривается как функция (Y), а два другие – как аргументы (X и Z). В качестве меры тесноты линейной связи трех признаков используют частные коэффициенты корреляции, обозначаемые rxy-z, rxz-y, rzy-x и множественные коэффициенты корреляции, обозначаемые символами Rx-yz, Ry-xz, Rz-yx.