- •Основные условные обозначения в математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Основы теории вероятностей
- •1Предмет и метод математической статистики
- •2Понятие случайного события
- •3Вероятность случайного события
- •4Основные теоремы теории вероятностей
- •4.1Сложение вероятностей
- •4.2Умножение вероятностей
- •4.3Вычисление вероятностей
- •Случайные переменные
- •5Понятие случайной переменной
- •5.1Дискретные случайные переменные
- •5.2Непрерывные случайные переменные
- •6Математическое ожидание и дисперсия
- •7Моменты
- •Дискретные распределения
- •8Биномиальное распределение и измерение вероятностей
- •9Распределение редких событий (Пуассона)
- •Основные модели теоретических распределений
- •10Прямоугольное (равномерное) распределение
- •11Нормальное распределение
- •12Логарифмически нормальное распределение
- •Распределения параметров выборки
- •13.1Проблема Беренса–Фишера
- •15Χ2–распределение
- •Основы математической статистики
- •16Средние величины
- •16.1Общие свойства средних величин
- •17Средняя арифметическая
- •17.1Средний ранг (непараметрическая средняя)
- •17.2Взвешенная средняя арифметическая
- •17.3Средняя квадратическая
- •17.4Мода
- •17.5Медиана
- •18Средняя геометрическая
- •19Средняя гармоническая
- •Разнообразие значений признака
- •20Стандартное (среднеквадратическое) отклонение
- •20.1Число степеней свободы
- •20.2Коэффициент вариации
- •20.3Лимиты и размах
- •20.4Приближенные значения μ и
- •20.5Нормированное отклонение
- •21Проверка выпадов (артефактов)
- •22Средняя и сигма суммарной группы
- •23Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
- •Графическое представление распределений
- •24Вариационный ряд
- •25Гистограмма и вариационная кривая
- •26Кумулята
- •27Достоверность различия распределений
- •27.1Критерий χ2 (хи квадрат)
- •27.2Критерий λ (лямбда)
- •27.3Критерий по асимметрии и эксцессу
- •Нормальное распределение
- •28Генеральная совокупность и выборка
- •29Репрезентативность
- •30Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
- •31Доверительные границы
- •Оценка генеральных параметров
- •32Общий порядок оценки
- •32.1Оценка средней арифметической
- •32.2Оценка средней разности
- •32.3Недостоверная и достоверная оценка средней разности
- •32.4Оценка разности генеральных средних
- •33Критерий достоверности разности
- •34Репрезентативность при изучении качественных признаков
- •35Достоверность разности долей
- •Парная корреляция
- •36Коэффициент корреляции
- •37Ошибка коэффициента корреляции
- •37.1Достоверность выборочного коэффициента корреляции
- •37.2Доверительные границы коэффициента корреляции
- •37.3Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
- •38Уравнение прямолинейной регрессии
- •39Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
- •Частная и множественная линейные корреляции и регрессии
- •40Частный коэффициент корреляции
- •41Множественный коэффициент корреляции
- •42Линейное уравнение множественной регрессии
- •Криволинейная корреляция и регрессия
- •43Корреляционное отношение
- •44Свойства корреляционного отношения
- •45Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
- •46Критерий линейности корреляции
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •47Сущность и метод дисперсионного анализа
- •47.1Результативный признак
- •47.2Фактор
- •47.3Градации факторов
- •47.4Градации комплекса
- •47.5Дисперсионный комплекс
- •47.6Статистические влияния
- •47.7Факториальное влияние
- •47.8Случайное влияние
- •47.9Общее влияние
- •48Однофакторный дисперсионный комплекс
- •Многофакторный дисперсионный анализ
- •49Многофакторный дисперсионный комплекс
- •50Преобразования
- •51Универсальное использование дисперсий
- •51.1Показатели силы влияний
- •51.2Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
- •51.3Предельные значения показателей силы влияния
- •51.4Достоверность влияний
- •Классификация
- •52Дискриминантный анализ
- •52.1Постановка задачи, методы решения, ограничения
- •52.2Предположения и ограничения
- •52.3Алгоритм дискриминантного анализа
- •53Кластерный анализ
- •53.1Методы кластерного анализа
- •53.2Алгоритм кластерного анализа
- •Литература
- •Приложение. Основные формулы и определения
- •2 46019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
4Основные теоремы теории вероятностей
Если некоторое событие может произойти при n испытаниях и а – число исходов, которые благоприятствуют наступлению события, а b – не благоприятствуют, то вероятность того, что событие произойдет, может быть определена как р = а/n. Вероятность того, что событие не произойдет, будет: q = b/n.
Следует отметить, что слова «благоприятное» и «неблагоприятное» используются в условном смысле. Подобно этому можно было, бы сказать, что группа а содержит случаи, обладающие определенным признаком, а группа b – не обладающие. Сумма благоприятствующих и неблагоприятствующих случаев равна числу всех случаев, т. е. а+b = n. Разделив все члены этого равенства на n получим:
а/n + b/n = 1 или p +q = 1,
т. е. сумма вероятностей двух несовместных событий равна единице.
4.1Сложение вероятностей
Если в урне с 10 шарами 6 шаров черных, 3 белых и 1 зеленый, вероятности этих событий будут равны, соответственно, 6/10, 3/10 и 1/10.
Какова вероятность вынуть белый или зеленый шар?
Благоприятствует появлению белого шара 3/10 всех исходов, а зеленого шара – 1/10 исходов. Появлению либо белого, либо зеленого шара соответствует p = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 0,25, т. е. вероятность суммы двух несовместных (взаимоисключающих случайных) событий равна сумме их вероятностей.
4.2Умножение вероятностей
Два события называются независимыми, когда наступление одного не оказывает влияния на наступление другого. Так, результат одного метания кости не влияет на результат следующего метания.
Вероятность сложного события (т. е. наступления двух событий независимых одно от другого равна произведению вероятностей отдельных событий.
Например, вероятность выпадения очка, а затем двух очков, при двух последовательных бросаниях кубиков, равна р = 1/61/6 = 1/36.
4.3Вычисление вероятностей
Часто возникает необходимость одновременно складывать и умножать вероятности. Например, требуется определить вероятность выпадения 5 очков при одновременном бросании 2 кубиков. Искомая сумма вероятностей может получиться как результат одной из следующих 4-х комбинаций исходов:
кубик а 1, 2, 3, 4;
кубик b 4, 3, 2, 1
Вероятность получения одного очка на кубике а равна 1/6 и получения четырех очков на кубике b – также 1/6. Вероятность получения комбинации этих очков равна 1/36. Аналогично и вероятность трех других комбинаций равна 1/36. Но любой из этих четырех результатов, дающий в сумме 5 очков, будет считаться благоприятным исходом. Отсюда вероятность искомого исхода:
р = 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 1/9.
Более общая форма вопроса о вероятности события является такой: какова вероятность получения не менее, например, 8 очков при бросании 2 костей? Число очков, равное и более 8, рассматривается как благоприятный исход.
Рассчитаем вероятность каждого благоприятного результата:
Вероятность появления 12 очков |
1/36 |
Вероятность появления 11 очков |
2/36 |
Вероятность появления 10 очков |
3/36 |
Вероятность появления 9 очков |
4/36 |
Вероятность появления 8 очков |
5/36 |
Сумма вероятностей |
15/36 |
Вероятность выпадения по меньшей мере 8 очков при бросании 2 костей равна 15/36 или 5/12.
Вопросы для самоконтроля
Что входит в предмет изучения вариационной статистики?
Каким образом образуют статистическую совокупность?
В чем заключается различие между дедуктивным методом, используемым в теории вероятностей и индуктивным методом, применяемым в вариационной статистике?
Каким из методов статистической обработки данных следует пользоваться для получения общих предположений, если известны данные лишь выборочной совокупности?
Каким образом возникает «случайное событие» или невозможность «категорического суждения» при проведении эксперимента?
Что такое вероятность? По какой формуле вычисляется вероятность?
Какие процессы называются вероятностными или стохастическими?
Приведите примеры некоторых биологических явлений, осуществление которых может быть оценено известной вероятностью.
Можно ли не считаться с возможностью событий, обладающих малой вероятностью?
Какое значение имеет р для очень достоверных событий?
Какая связь существует между частотой определенного явления и вероятностью?
Чему равна сумма р + q?
Какая разница между эмпирической и теоретической вероятностью?
Что определяет получение «достоверного» или «невозможного» события при проведении эксперимента?
Каким закономерностям подчиняется масса случайных однородных событий?
Чем определяется приближение частоты события к статистической вероятности события?
Объясните разницу между классическим и геометрическим определением вероятности.
В каких случаях применяется сложение вероятностей отдельных событий для вычисления вероятности окончательного события, в каких – умножение вероятностей? Привести примеры.