Вопросы для самоконтроля по теме «Линейная алгебра»
1. Матрицы. Основные понятия.
2. Линейные операции над матрицами.
3. Определители второго и третьего порядков. Способы их вычислений.
4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
5. Теорема Крамера для решения систем линейных уравнений.
6. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.
7. Понятие ранга матрицы.
8. Нахождение ранга матрицы.
9. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
10. Что называется минором, алгебраическим дополнением?
11. Дайте определение обратной матрицы.
12. Всякая ли матрица А имеет обратную?
13. Как записать в матричной форме систему линейных уравнений?
14. В чем заключается сущность метода Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений?
15. Как искать обратную матрицу?
16. При каком условии система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение?
Тема 2. Элементы аналитической геометрии Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Будем говорить, что на плоскости задана декартова прямоугольная система координат, если задан единичный (масштабный) отрезок, а также пара взаимно перпендикулярных осей. Обычно горизонтальную ось называют осью абсцисс, вертикальную ось – осью ординат. Точку О пересечения этих осей будем называть началом координат.
Введение на плоскости декартовой прямоугольной системы координат позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством пар действительных чисел. Это соответствие дает возможность сводить изучение множеств точек плоскости к изучению множеств пар действительных чисел, т.е. применять к изучению вопросов геометрии алгебраические методы.
Рассмотрим
расстояние (
)
между двумя точками
и 
плоскости находятся по формуле:
Координаты
точки
,
делящей отрезок с концами
и
в отношении
находятся по формуле:
Координаты точки – середины отрезка с концами и находятся по формуле:
Уравнение прямой:
а) с угловым
коэффициентом
и начальной ординатой
:
;
б) проходящей
в данном направлении (с угловым
коэффициентом
)
через данную точку
:
;
в) проходящей через две данные точки и :
г) с угловым
коэффициентом
д) в отрезках:
(
и
– соответственно отрезки, отсекаемые
на осях
и
);
е) Общее уравнение
прямой:
Рассмотрение
от точки
до прямой
находится по формуле:
Если две прямые
заданы уравнениями
и
или
и
,
то угол
между прямыми находится из соотношения
или
.
Условие параллельности двух прямых:
или
Условие перпендикулярности двух прямых:
или
Точка пересечения двух прямых находится из решения системы:
или
Задача 1.
Даны величины
.
Составить уравнения:
а) сторон треугольника;
б) медианы, высоты и биссектрисы проведенных из вершины .
Решение:
а) Составим
уравнение стороны
точек
.
Подставим координаты в уравнение
.
.
Преобразуем это равенство.
или
Для стороны
имеем равенство
или
.
Аналогично, сторона
задается уравнением
или
б) Найдем
уравнение медианы
,
где
– середина отрезка
Угловой коэффициент к прямой
Медиана
имеет
проходит через точку
.
Получим уравнение медианы
:
или
Найдем уравнение
высоты
Угловой коэффициент прямой
На основании угловая перпендикулярности
двух прямых
Уравнение высоты
примет вид:
или
Найдем уравнение
биссектрис
.
По свойству биссектрисы расстояния
ее от любой точки
до сторон
и
равны, получим
Записанному
уравнению удовлетворяют два:
и 
.
Чертежу задачи
удовлетворяет второе уравнение, так
как биссектриса
образует тупой угол с осью
Задача 2.
В
,
заданном координатами своих вершин:
Найти:
а) длину медианы
,
проведенной из вершины
;
б) длину высоты
,
опущенной из вершины
;
в
) точку
пересечения медианы
и высоты
.
Решение:
Сделаем схематический чертеж . Определим координаты точки , как точки, делящей отрезок пополам:
,
Длину медианы определим по формуле расстояния между двумя точками и :
Составим уравнение
стороны
используя уравнение прямой, проходящей
через две точки
и
,
а длину
определим по формуле расстояния точки
до прямой
:
Составим уравнение медианы , используя уравнение прямой, проходящей через две точки и :
Уравнение высоты
составим по точке и угловому коэффициенту
.
Угловой коэффициент прямой
,
следовательно, угловой коэффициент
прямой
,
перпендикулярной к
,
равен
.
Уравнение прямой
имеет вид:
Для определения искомой точки пересечения медианы и высоты решаем систему уравнений:
При решении находим,
что
