Ряды с неотрицательными членами

Ряды с отрицательными, точнее, с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем , и вследствие этого такие ряды ведут себя одинаково относительно сходимости.

Рассмотрим признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

Первый признак сравнения рядов с неотрицательными членами:

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами (1) и (2) , . Если при любом , то из сходимости ряда (2) следует  сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Пример 3.  Ряд расходится, т.к. , а гармони­ческий ряд расходится. В частности при имеем ,

Пример 4.  Ряд сходится, т.к. сходится ряд геометрической прогрессии , а члены данного ряда не больше соответствующих членов этого ряда сходящейся геометрической прогрессии: .

В частности, при имеем , .

Второй признак сравнения рядов:

Пусть даны и , где , . Если существует , где – число, отличное от нуля, то ряды и ведут себя одинаково относительно сходимости.

Признак Даламбера (предельный признак Даламбера):

Пусть дан ряд , . Если существует , то при ряд сходится, при ряд расходится, при признак вопроса не решает.

Пример 5.  Ряд сходится, т.к. ,

.

Пример 6.  Ряд , , .

Пример 7.  Ряд расходится. . По признаку Даламбера в этом случае требуется дополнительное исследование. Это будет показано далее, по интегральному признаку сравнения.

Признак Коши:

Пусть дан , . Если существует , то при ряд сходится, при ряд расходится, при признак вопроса не решает.

Пример 8.  Ряд сходится, т.к. .

Пример 9.  Рассмотрим ряд . Найдём .

Вопрос о сходимости данного ряда признаком Коши не решается. Хотя с  учетом второго замечательного предела имеем, что , значит  ряд расходится.

Интегральный признак сходимости рядов

с положительными членами:

Если – непрерывная положительная убывающая функция на промежутке , то ряд и интеграл ведут себя одинаково относительно сходимости.

Пример 10.  Рассмотрим ряд При

сходится, так как сходится, при расходится.

В  частности, при получим сходящийся ряд , т.к.

.

При получим известный расходящийся гармоничный ряд .

Рассмотрим , .

Знакопеременные ряды

Определение:  Ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, называются знакочередующимися. Знакочередующийся ряд, если первый член положителен, можно записать в виде: , где   ,

Признак Лейбница:

Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины членов ряда убывают: и общий член стремится к нулю при , то  ряд сходится.

Пример 11.  Исследовать сходимость знакочередующегося ряда

1)

Решение:

Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине:

и . Данный ряд сходится.

Пример 12.

Решение:

Вместо данного ряда возьмём ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда . Это ряд с положительными членами, сравним его по первому признаку сравнения с рядом ; . Ряд – геометрическая прогрессия со знаменателем , он сходится. По признаку сравнения данный ряд сходится.

Пример 13.

Решение:

По признаку Лейбница Первое условие признака Лейбница выполнено, т.е. второе условие

выполнено. Ряд сходится.

Определение:  Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд составленный из абсолютных величин его членов. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится.

Пример 14.  Ряд – абсолютно сходящийся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин сходится.

Пример 15.  Ряд условно сходится. Оба условия признака Лейбница выполнены:

1)

2)

Ряд, составленный из модулей его членов , расходится по интегральному признаку сравнения. Деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся весьма существенно. Основные свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно сходящиеся ряды, тогда как условно сходящиеся ряды некоторыми из этих свойств не обладают.