Вопросы для самоконтроля по теме «Дифференциальные уравнения»
1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
2. Общее и частное решение. Формулировка задачи Коши, теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
3. Определение дифференциального уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.
4. Метод интегрирования дифференциального уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.
5. Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
6. Определение дифференциального уравнения n-го порядка, общее решение.
7. Формулировка задачи Коши, теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка.
8. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка.
9. Алгоритм решения неполных дифференциальных уравнений второго порядка.
10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
11. Линейные неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.
Тема 9. Ряды Общие сведения
Если члены
бесконечной числовой последовательности
,
,…,
соединить знаком
,
то получится выражение
…
…
(1), называемое числовым рядом. Числа
,
,…,
– называются членами ряда,
– общим членом ряда.
Рассмотрим
последовательность
,
,
…,
,
частных сумм ряда (1).
,
,
.
Эти конечные суммы называем частными
или частичными суммами ряда.
Определение: Ряд
(1) называется сходящимся, если сходится
последовательность его частных сумм;
сумма сходящегося ряда – предел
последовательности его частных сумм.
Таким образом, по определению, если
,
то
– сумма ряда.
Если последовательность частных сумм расходится, т.е. она или не имеет предела или её предел равен бесконечности, то ряд называется расходящимся и ему не приписывают никакой суммы.
Пример 1. Ряд
–
называется рядом геометрической
прогрессии со знаменателем
.
Будем рассматривать случай, когда
.
,
тогда:
а) при
,
т.е. ряд сходится и его сумма равна
:
,
откуда, например, при
,
,
имеем:
б) при
ряд расходится, т.к.
;
в) при
и
,
получаем соответственно ряды
Оба ряда расходятся,
т.к.
и, следовательно, последовательность
не имеет предела. Окончательно получаем,
что ряд геометрической последовательности
сходится только при
и его сумма равна
.
Пример 2. Ряд
называется гармоническим. Возрастающая
последовательность
,
сходится и
её
предел равен
:
,
при этом
.
Логарифмируя это неравенство, запишем:
,
откуда
.
Полагая
,
получаем
Сложив эти
неравенства, получим:
.
Следовательно,
,
гармонический ряд расходится.
Свойства рядов
Свойство 1. Сходимость или расходимость ряда не изменится (поведение ряда относительно сходимости не изменится), если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
Это следует из того, что две последовательности, члены которых, начиная с некоторого, отличаются между собой на одно и то же число, ведут себя одинаково относительно сходимости, т.е. или обе сходятся или обе расходятся.
Свойство 2. Рассмотрим
ряд
и ряд, полученный умножением каждого
члена ряда
на число
,
т.е. ряд
.
Теорема 1. Если
ряд
сходится и его сумма равна
,
то и ряд
также
сходится и его сумма равна
.
Теорема 2. Если
ряды
и
сходятся и их суммы соответственно
равны
и
,
то и ряд
сходится и его сумма равна
,
т.е.
.
Таким образом, сумма двух сходящихся рядов является сходящимся рядом, разность двух сходящихся рядов есть ряд сходящийся. Общего утверждения относительно суммы двух расходящихся рядов сделать нельзя. В одних случаях сумма двух расходящихся рядов может быть сходящимся рядом, в других – расходящимся рядом.
При рассмотрении числовых рядов практически решаются две задачи:
исследовать, сходится или расходится ряд, другими словами, исследовать ряд на сходимость;
зная, что ряд сходится, найти его сумму. Обе эти задачи не являются простыми. Как первая, так и вторая задачи практически не всегда выполнимы.
Необходимый признак сходимости рядов.
1. Если ряд
сходится, то его общий член стремится
к нулю:
.
Заметим, что условие
не является достаточным для сходимости
ряда
,
как это легко видеть на примере
гармонического ряда.
Действительно,
гармонический ряд
расходится, хотя общий член ряда
.
Таким образом, если общий член ряда
не стремится к
,
то ряд расходится. Если же общий член
ряда стремится к нулю, то о сходимости
ряда еще ничего сказать нельзя. В этом
случае ряд нужно еще исследовать,
применив другие признаки сходимости.
2. Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.